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1、第六章 曲线和曲面,61,曲线,62,曲面的形成,63,回转面,64,非回转直纹曲面,65,平螺旋面,倫敦 小黃瓜,倫敦 小黃瓜,倫敦 小黃瓜,新加坡 濱海藝術中心,美國 雷與瑪利亞史塔特科技中心,西班牙 藝術及科學之城,61 曲线,一、曲线的投影特征,平面曲线：如圆、椭圆、抛物线和双曲线等圆锥曲线；空间曲线：如圆柱螺旋线。,1、曲线的割线和切线,割线：与曲线相交于两个点的直线；切线：与曲线相切的直线。,2、曲线的交点和重影点,曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在某点相交，其投影也在该点的投影处相交。曲线的投影一般仍然是曲线。,3、曲线的实长,求平面曲线段的实长，可把它“拉直”成一直线段。先求平
2、面曲线的实形，把他分成若干小段，然后以每段的弦长代替弧长，依次画在一直线上，便得到曲线段的实长。,H,二、圆的投影,1.圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实 形（同样大小的圆）；2.圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为椭圆）；3.圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线（长度等于直径）。,圆所在平面为投影面垂直面,当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。,2.2 圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。,
3、椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影。,短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影。,三、圆柱螺旋线,1、形成:当一动点M沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线O等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。,导程Ph,旋向,直径,圆柱螺旋线三要素,1、圆柱的直径,2、导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母 线移动的距离称为螺旋线的导程,3、旋向：分为右旋、左旋两种,右螺旋线从左向右经过圆柱面的前面而上升的。部分右边高见图(a)；左螺旋线从右向左经过圆柱面的前面而上升的。部分右边高见图(b)；,螺旋线的画法,作图步骤,有1500多年历史的罗马梵蒂冈博物馆(The Vati
4、can Museum)是世界上博物馆中最早建成的。这个欧洲宫廷式建筑的博物馆最出色之处在于它内部装饰极其辉煌，延绵不断的天花、壁画极尽富丽堂皇之能事，集中了古欧洲宫廷文化的精髓。,罗马梵蒂冈博物馆螺旋楼梯,62 曲面的形成,一、曲面的分类：直纹曲面按母线的形状分 曲纹曲面 圆柱、圆锥面 直纹回转曲面 单叶回转双曲面 回转曲面 曲纹回转曲面：球、圆环按母线的运动形式分 非回转曲面：锥面、柱面、双曲抛物面、锥状面、柱状面,二、曲面的形成,曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。,回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。,回
5、转曲面的有关概念直线形的母线绕一条固定的直线回转所形成的曲面叫做直纹回转面。素线：母线在曲面上的任意位置都称为素线。纬圆：母线上任意点的运动轨迹都是一个垂直于 回转轴且中心在回转 轴上的圆，这种圆就是纬圆。,母线,素线,素线,A,A,A,B,B,S,纬圆,母线,纬圆,母线,圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。,母线,2.1、圆柱曲面,导线,圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。,母线,2.2、圆锥曲面,导线,球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。,2.3、球面,母线,导线,三、素线与轮廓线,形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。,我们把确
6、定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓线也是可见与不可见的分界线。,当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。,在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。,四、纬圆、导线和导平面,由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆即为纬圆；约束母线运动的直线或曲线称为导线；约束母线运动状态的平面称为导平面。,导线,母线,63 回转面,回转面是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体、环体、单叶双曲回转面都是回转体。,由回转体的形成可
7、知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆即为纬圆。曲面上比它相邻两侧纬圆都大的叫赤道圆、都小的叫颈圆。,过轴线的平面与回转面的交线叫子午线，主子午线（外轮廓线）,圆柱面,圆锥面,球面,环面,单页双曲回转面,圆柱面,圆锥面,沪宁城际铁路路基锥体护坡,在斯德哥尔摩城很容易看到一座白色圆球屋顶的建筑，这就是建成于1989年的体育馆。覆盖体育馆的巨大的球面屋顶直径有110米，是世界上最大的球型建筑。,球面,环面,慕尼黑，BMW Welt,单页双曲回转面,圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）,水平投影是一个圆，这个圆既是上底圆和下底圆的重合投影，反映实形，又是圆柱面的积聚投影，其半径等于底圆
8、的半径，回转轴的投影积聚在圆心上（通常用细点画线画出十字对称中心线）。正面投影和侧面投影是两个相等的矩形，矩形的高度等于圆柱的高度，宽度等于圆柱的直径（回转轴的投影用细点画线来表示）。,圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）,正面投影的左、右边线分别是圆柱最左、最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影与回转轴的投影重合。,侧面投影的左、右边线分别是圆柱最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影与回转轴的投影重合。,圆柱表面取点,素线法,圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）,正面投影的左、右边线分别是圆锥最左、最右的两条轮
9、廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的水平中心线重合。,侧面投影的左、右边线分别是圆锥最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆的竖直中心线重合。,圆锥表面取点,方法一：素线法,方法二：纬圆法,球体的投影分析,球体的三个投影为直径相等并等于球体直径的圆。但这三个圆并不是球体上同一个圆周的投影。,球体表面上取点,纬圆法,圆环的投影分析,圆环的水平投影由赤道圆和喉圆的水平投影组成，正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，但有半边看不见，画成虚线），小圆
10、的公切线分别是环面上最上和最下两个纬圆的正面投影。,圆环表面取点,纬圆法,单叶双曲回转面,一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面。,单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面,2 单叶双曲回转面的画法,64 非回转直纹曲面,曲面上的相邻两素线为平行或相交的共面直线，这种曲面可以展开，所以是可展直纹曲面。,曲面上的相邻两素线为交叉的异面直线，这种曲面只能近似的展开，所以是不可展直纹曲面或扭面。,锥面,柱面,双曲抛物面,锥状面,柱状面,一、锥面,一直母线沿曲导线运动且始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称为锥面。,锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所
11、以是可展曲面。,作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线,正圆锥面 斜圆锥面 正椭圆锥面 斜椭圆锥面,二、柱面,一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面；柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。,作图时一般应画出曲导线和直导线，必要时还要画出若干素线。,几种柱面,直圆柱面 斜圆柱面 直椭圆柱面 斜椭圆柱面,1 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2 双曲抛物面的画法（1）画出两条直导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线
12、的投影。,三、双曲抛物面,正双曲抛物面,斜双曲抛物面,四、锥状面,一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面。,锥状面是不可展曲面,1 柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面2 柱状面的画法（1）画出两条曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。,五、柱状面,2 柱状面的画法,65 平螺旋面,一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形成螺旋面,一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线垂直相交，即形成正螺旋面。正螺旋面是锥状面,为不可展曲面。,5-2 正螺旋柱状面,1 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2 正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3 正螺旋柱状面的应用的例子,2 正螺旋柱状面的画法,
