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1、第五章 直线与平面及两平面的相对位置,51,直线与平面、平面与平面的平行,52,直线与平面、平面与平面的垂直,53,直线与平面、平面与平面的相交,54,换面法,一、直线与平面平行,51 直线与平面、平面与平面的平行,1、直线与一般面平行,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,例1：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,x,o,例题2 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,2、直线与投影面垂直面平行,直线AB与铅垂面平行,直线AB与正平面平行,二、两平面平
2、行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,例3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,52 直线与平面、平面与平面的垂直,直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,一、直线与平面垂直,1、直线垂直于一般面,直线垂直于一般面，必垂直与该平面内的两条相交直线。,在投影图中做一般面垂线的方法：做平面的正平线和水平线作为面上的两相交直线，所做垂线与正平线的垂直关系在V投影反映，垂线与水平线的垂直关系在H投影反映。,例题1 平
3、面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂线。,a,例2试求点K 到ABC 的距离,分析：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，并求出垂线与平面的交点(垂足)，然后确定该点到垂足之间线段的实长。,1）在ABC上任作一水平线BD和正平线AE；,2）自K 点向BD、AE引垂线，即作klbd，klae，得垂线KL；,3）过KL作辅助面P，求出垂足F；,4）用直角三角形法求出KF 的实长K1f，则K1f 即为所求的距离。,定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的
4、水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。,2、直线垂直于投影面垂直面,h(k),k,k,k,k,k,QV,PH,QV,如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面（图a）；反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图b）。,(a),(b),一、两平面相互垂直,例1试过EF直线作一平面垂直于ABCD平面。,解：自EF直线上的任一点E，向ABCD平面作垂线EH；则FEH平面垂直于ABCD平面，即为所求。,1）自DEL上任一点，如E 点，作直线EF垂直于ABC；,2）在EF 上除E点
5、外，任取一点，如F 点，检查F 点是否在DEL 平面上。,由图可见，F 点不在DEL 平面上，故两平面不垂直。,例2试判断ABC、DEL两平面是否相互垂直。,例3试过A 点作一条直线，使其与直线BC 垂直相交。,1）过A 点作水平线ADBC，作正平线AEBC；,分析：所求直线必在过A 点且与直线BC 垂直的平面内，该平面与直线BC 的交点和A点的连线，即为所求。,2）求BC直线与平面DAE的交点K；,3）连接A、K，则AK 即为所求。,PV,53 直线与平面、平面与平面的相交,一、直线与投影面垂直面相交,直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影，另
6、一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。,主要解决问题：求交点？,例1试求直线AB 与平面P 的交点。,解：平面P 是水平面，V 投影有积聚性。PVabk，k就是交点K 的V 投影。由k即可求出k，则点K即为所求。,例2求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与mn 的交点即为K点的V 投影。,1)求交点。,2)判别可见性。,由V投影可知，km 段在平面上方，故H投影上km为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作 图,例3求垂面P与三棱柱表面的交线。,解:求P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边
7、AA1、AB、AC 和P 平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。,作图步骤：,1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d,d)；,二、一般线与一般面相交,主要解决问题：1、求交点？2、判别直线的可见性？,可采用辅助投影法，先将一般面变换为投影面垂直面，利用投影面垂直面的积聚投影直接求出交点，然后将这交点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。,可采用辅助面法，先过直线做一投影面的垂直面，利用垂直面的积聚性，直接求出交线和交点，然后将这交点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。,例试求直线AB与平面EFG的交点,1）过AB 作
8、铅垂辅助面P；,2）求P 与EFG 的交线CD；,3）求CD 与AB 的交点K，则K为直线AB 与平面EFG 的交点；,4）取H 投影的重影点1、c（1AB，CEG）分辨H 投影的可见性；,5）取V投影的重影点2、3（2GF，3AB），分辨V 投影的可见性。,三、一般面与投影面垂直面相交,主要解决问题：1、求交线？2、判别可见性？,一般面与投影面垂直面相交时，利用投影面垂直面的积聚投影与一般面的同面投影的交线，就是所求交线的同面投影，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。,判断平面的可见性,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及
9、投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，交线的正面投影可直接求出。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,三、两投影面垂直面相交,三、两一般面相交,1)辅助面三面共点从原理上讲，辅助面可以是平面，也可以是曲面，但采用平面较为简便。平面的位置可以任选，但采用特殊位置平面作图较简便。,2)辅助面线面交点法求交线与辅助面三面共点法求交线，虽然出发点有些差异，但从本质上看它们是一致的。,用辅助面三面共点法求交线,在两平面之外任作一辅助面R，RP12，RQ34，1234K，则交点K是
10、P、Q、R的三面共点，它一定是P、Q两平面交线上的点。类似地，再作第二个辅助面，又能求出一个三面共点L，连接K、L，直线KL 即P、Q 两平面的交线。,用辅助面线面交点法求交线,如图1所示，两个三角形都是一般位置平面，其交线方向也未知，故求交线可用辅助面求两个公共点,1,2,3,作图步骤如图2、3所示,2.2.2 用辅助投影法求交线,a,b,c,e,d,f,b,a,c,d,e,f,PH,PH,1,2,5,6,3,4,7,8,1,2,5,6,3,4,7,8,53 换面法,新投影面的选择应符合下列两个条件：,1)新投影面必须垂直一个原有的投影面。,2)新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置。
11、,一、概述,1、两平行的管道之间的距离问题；2、电线的铺设长度计算；3、点到直线的距离、面到面的距离等问题。,通过变换一次投影面可以解决以下问题：1、把一般线变为新投影面的平行线：解决求线段的实长和对另一投影面的倾角问题。2、把投影面平行线变为新投影面的垂直线：这时，它的新投影具有积聚性。可解决点到投影面平行线的距离，和两根平行的投影面平行线的距离等问题。3、把一般面变为新投影面的垂直面：解决平面对投影面的倾角、一点到一平面的距离、两平行平面间的距离、直线与一般面的交点和两平面交线等问题。4、把投影面垂直面变为新投影面的平行面：解决求投影垂直面的实形问题。,例：求直线AB实长及其对H面的倾角a
12、,X,O,X1,O1,a,a1,H,V1,V,H,a,b,b,b1,反映AB的实长,a,要点确定新轴位置方法：1、根据空间关系确定新轴位置2、根据投影特点确定新轴位置,一般位置线变换为平行线,新轴与直线的水平投影平行,X,O,X1,O1,a,a1,H,V1,a,b,b,(b1),平行线变换为垂直线,例：将水平线AB变换为投影面的垂直线。,V,H,新轴与水平线的水平投影垂直,X,O,X1,O1,a,a1,H,V1,V,H,a,b,b,(b1),c1,c,c,例：将一般位置平面ABC变换为投影面的垂直面，并求其水平倾角。,一般位置面变换为垂直面,解题步骤：,1.找平面内的平行线;,2.建新轴V1/
13、H垂直于abAB变成正垂线;,3.平面变成垂直面,有积聚性,反映夹角。,垂直于平面内的水平线,例:求铅垂面ABC的实形。,X,O,a,V,H,a,b,b,c,c,要点：投影轴平行于平面积聚的投影线,垂直面变换为平行面,换面法的应用,例：求点M到平面ABC的距离MN,X,O,a,V,H,b,b,c,c,m,m,a,注：求距离实长投影,距离的实长,X,O,a,V,H,b,b,c,c,m,a,注：把已知投影的投影面作为不变投影面,换面法的应用,例：已知点M到平面ABC的距离为30，求m。,点到直线距离的实长,距离问题,例：求点A到直线CD的距离。,解题要点：一、作垂直二、求交点三、找实长,例1:试求平面ABC的实形和角,必须经过两次换面，先将它变换为新投影体系中的投影面垂直面，再将它变换为另一投影体系中的投影面平行面。,换面顺序,/12/1,
