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1、1,第五章 静定结构的位移计算,一、位移的概念,结构上某点位置的改变称为位移，结构的位移有两大类：线位移和角位移。,截面的移动称为线位移；截面的转动称为角位移。,计算位移的目的,1、校核结构的刚度，保证结构的正常使用。,2、为超静定结构的内力计算打下基础。,产生位移的主要因素,（1）荷载作用；（2）温度变化和材料胀缩；（3）支座沉降和制造误差。,2,虚功和虚功原理,功、广义力、广义位移,物理上定义：W=FS F集中力；S线位移现在将此式的定义扩大：W=P 式中：W广义功；P广义力；与P相应的广义位移功的正负号规定：当力P与相应位移方向一致时，功为正；两者方向相反时，功为负。虚功1、定义：凡力在
2、其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。,二、位移计算的一般公式,3,虚功的表达式：W=P,注意：（1）力P与位移必须是相应的。（2）力P与位移是互相独立，彼此无关的，即无因果 关系。（3）虚功的正负号规定与前面相同。,虚功：W=P12,“虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！,4,变形体体系的虚功原理,变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所有内力所作的虚功。,W外=W内,即：,5,单位荷载法,虚拟单位荷载的建立,(1)欲求A点的水平线位移时，在A点沿水平方向加一单位集中力如图(b)所示
3、；(2)欲求A点的角位移，在A点加一单位力偶如图(c)所示；(3)欲求A、B两点的相对线位移，在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图(d)所示；(4)欲求A、B两截面的相对角位移，在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图(e)所示。,6,位移状态（实际）,C,力状态（虚设）,如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力P=1，由虚功原理可得：,=1,正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之为负。所以，由上式求得的如果是正值，说明位移的方向与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。,结构位移计算的一般公式,7,如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得,由材料力学公式，
4、实际荷载下杆件内力MP、FQP、FNP作用下所引起的相应变形d、d、d分别为：,8,1、荷载作用下位移的计算公式,M,FQ,FN 虚设单位荷载引起的内力MP,FQP,FNP 实际荷载引起的内力k 剪力不均匀系数,正负号规定：,轴力 以拉力为正剪力 以顺转 为正弯矩 只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积MPM取正，反之为负。,9,2、各类结构的位移计算公式,1、梁和刚架,2、桁架,3、组合结构,（梁式杆）,（链杆）,10,荷载作用下位移计算的步骤,1、沿需求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；,2、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力 方程；,3、列出实际荷载作用下各杆段内力方程；,4
5、、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计算出所求位移。,11,四、图乘法求静定结构的位移,1）图乘法的应用条件,2）图乘法的计算公式,为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积,y为面积为的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐标，即y必须在直线图上量取。,公式正负号规定：若与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，反之，则取负值。,1、图乘法公式,12,3）几种常见图形的面积和形心位置,注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛物线，即顶点在中点或端点的抛物线。,顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处Q=0。,13,2、图乘分段和叠加,1、分段,（1）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折
6、线，则应分段计算。如：,（2）杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段，分段进行图乘。如：,14,2、叠加,在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。,（1）两个图形都是梯形,1,2,15,（2）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成两个简单图形分别计算，再叠加。例如：,16,例1：试用图乘法计算如图所示简支梁跨中截面C的竖向位移C和B端的角位移B。EI为常数。,解：1、计算C,1,2、计算B,17,例2：计算图示悬臂刚架在C点作用荷载时，梁中点D的挠度。EI为常数,解：1、在D点设单位竖向力,3、图乘法计算,2,1,18,例3：求图示刚架C
7、截面的竖向位移C。EI为常数,=,(3006)6,19,五、梁的位移及刚度校核,1、梁的位移,挠度：,横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用w 表示，规定w 向下为正。,转角：,横截面的角位移,，规定顺时针转为正,20,在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表所示），可供计算时查用。,表 梁的挠度与转角公式,2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端,1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端,最大挠度,转角,荷载类型,21,续表,时,4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上,3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上,时,22,6简支梁弯曲力偶作用在梁的一端,5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上,-,（在,处）,续表,-,
8、23,2梁的刚度校核,梁的位移过大，则不能正常工作,对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比,为标准,在工程上，吊车梁的 1/600,铁路钢桁梁的 1/900,梁的刚度条件为:,24,例：图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度l=3m，许用应力=160MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=2105MPa，试选择工字钢的型号。,25,解,（1）按强度条件选择工字钢型号,梁的最大弯矩为：,按弯曲正应力强度条件选截面,26,查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4,（2）校核梁的刚度,=4.75mm,=,梁的
9、刚度足够,所以，选用20a工字钢,27,3、提高梁抗弯刚度的措施,梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度L、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：,增大梁的抗弯刚度EI,增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。,在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I。,28,（2）减小梁的跨度L,梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值：,增加中间支座,而,29,两端支座内移,如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。,30,(3)改善荷载的作用情况,在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。,
