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1、第二节 曲面的第一基本形式,2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长,1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t),或 r=r u(t),v(t)=r(t)，若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。,2、曲线(C)上两点 A(t0),B(t1)间的弧长为：,3、用显函数样 z=z(x,y)表示的曲面的第一基本形式,4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从 直接得到。,例2：正螺面,例题1：求球面的第一基本形式,2、2 曲面上两方向的交角,1、把两个向 量 和 间的交角称为方向（）和（）间的角。,2、设两方向的夹角为，则,3、特
2、别（1）（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为 F=0。,2、3 正交曲线簇和正交轨线,设有两曲线 如果它们正交，则 或 即,若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即,2、4 曲面域的面积,如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为,其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，,定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。,2、5 等距变换,1)曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面：S：S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关系
3、：，其中 连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。,由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。,2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。,定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适 当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。,证明：必要性 设s与s1是等距的且对应点有相同的参数，则s上任一条曲线与s1 上对应曲线有相同的长度，即对于,即有 对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有,充分性 设两曲面有相同的第一基本形式，由于弧长由第一基
4、本形式决定，所以它们的弧长相同。,由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质）在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。,2、6 保角变换（共形变换）,1）定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）,2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们 的第一基本形式成比例。,证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为，1。必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正 交条件 得 消去 得 由du,dv的任意性，在du=0时有，dv=0时有,因此,充分性 由于第一基本形式成比例，得代入交角公式知对应曲线的交角相等。,特别：等距变换是它的特例。,
