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1、第二节 曲线的概念 2、1 曲线的概念,2、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射 f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。,1、映射 给出两个集合E，法则f，如果通过 E 中每个点（或元素）x，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射，为象，x为原象。一一映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：中元素都有原象。双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。,例书中的开园和园柱螺线。,2、2 光滑曲线 曲线的正常点,1、光滑曲线 如果曲线的参数表示式中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类曲线。类的曲线又称为光滑曲线。,2、正
2、常点 曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若t0 为曲线的正常点，则由于所以 中至少有一个不为零,3、正则曲线 若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。,由 中至少有一个不为零 不妨设,则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在 t0 邻近有连续可微的反函数 t=t(x),代入 y=y(t),z=z(t)，即得 这是曲线的另一种表示方法。,2、3 曲线的切线和法面,2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）设切线上任一点的径矢为 则 设 则,3、例 求园柱螺线上一点处的切线。,1、切线 割线的极限 切向量,4、法面 经过切点且垂直于 切线的平面。,5、法面的方程 设 是法面上任一点，则 或,例题 求园柱螺线的法面方程,2、4 曲线的弧长 自然参数,给出 类曲线（C）：作分点 Pi 得折线，长为得弧长若用 表 a 到 t 的弧长，则 这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。,弧长公式为,即可写成,此外还有，因此 为单位切向量。练习10 将园柱螺线化为自然参数表示。,
