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1、高等数学教学课件,山东信息职业技术学院基础部,2,第六节 微分及其应用,二、微分的几何意义,三、微分公式与法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义,3,引例:,问此薄片面积改变了多少?,变到,边长由,设正方形面积为 A,则,关于x 的线性主部,故,称为函数在 处的微分,一、微分的定义,时,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其,4,处的微分,在点 x 处的增量可表示为,则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 x 处可微的充要条件是,即,在点,处可微,定义:若函数,5,则有,从而,导数也叫作微商,已知导数求微分,已知微分求导数,定理:函数,在点 x 处可微的充要条件是,即,6,例
2、1 求函数 当x由1改变到1.01时的微分.,解 函数的微分为,例2 求下列函数的微分：,解,7,二、微分的几何意义,切线纵坐标的增量,实例,M,N,T,P,故,时,动画演示,设,则 x=2时切线方程为,8,三、微分公式与法则,（二）设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),（一）基本初等函数的微分公式(见 P61表),例证：,9,例3 设，求.,解法一,应用微分和导数的关系,方程两边同时求关于 x 的导数得,解得,所以,10,例3 设，求.,解法二,应用微分法则,方程两边分别求微分得,即,所以,11,分别可微,的微分为,微分形式不变性,（三）复合函数的微分,则复合函数,例4 设,例5
3、 求,，求,12,例4 设,，求,解法一,解法二,13,例5 求,解法二,解法一,14,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,15,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,特别当,16,的近似值,解:设,取,则,例6 求,17,的近似值,解:,例7 计算,18,为了提高球面的光洁,解:已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),只球需用铜多少克,估计一下,每,度，要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,例8 有一批半径为1cm 的球,19,内容小结,1 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2 微分运算法则,微分形式不变性：,(u 是自变量或中间变量),3 微分的应用,近似计算,20,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,21,2.,22,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,6.设,且,则,5.设,23,P66 4(1)，(3)，(5)，(7)，(9),作业,
