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1、,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,设时刻t电容器两极板间的电压为uc,则uc满足微分方程,例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间t的函数:EEmsinwt,这里Em及w也是常数.,设时刻t电容器两极板间的电压为uc,则uc满足微分方程,如果电容器经充电后撤去外电源(E0),则上述方程成为,例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间t的函数:EEmsinwt,这里Em及w也是常数.,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分
2、方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,简要证明,这是因为,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2,000,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),例如,线性无关,线性相关,问题:,不是通解,例如,判别两个函数线性相关性的方法,如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1)an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y
3、2(x)Cnyn(x)其中C1 C2 Cn为任意常数,推论,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,注,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程,证明提示,Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x)=Y+P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y*0f(x)f(x),举例,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是非齐次方程y+y=x2的通解,思考题,思考题解
4、答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,解的叠加原理,简要证明 这是因为 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2*=y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*=f1(x)f2(x),三、常数变易法,非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),yP(x)yQ(x)yf(x),(5),(4),(5)联立方程组,yP(x)yQ(x)yf(x)(2),积分可得,非齐次方程通解为,yP(x)yQ(x)yf(x),补充内容,可观察出一个特解,解,对应齐次微分方程特解为,对应齐次微分方程通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,练 习 题,证明下列函数是相应的微分方程的通解:1、,是方程,的通解；,四、已知齐次线性方程,的通解为,求非齐次线性方程,的通解.,
