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1、微型培优专题(三)巧用基本图形,证明三角形全等,基本图形是最常见、最简单的几何图形,但它往往具有非常重要的性质.证几何题时,我们一要善于从较复杂的图形中分解出基本图形,二是会根据图形特征添加辅助线构造出基本图形,进而利用基本图形的性质使问题获证.下面我们介绍有关全等三角形的基本图形,供同学们复习参考.,一、角平分线+翻折全等三角形【知识点睛】如图,OZ平分XOY,A,B分别为射线OX,OZ上的点,将AOB绕角平分线OZ翻折,点A落在OY上的A点(添加辅助线时,叙述为“在OY上取A,使OA=OA”).在AOB与AOB中,OA=OA,AOB=AOB,OB=OB,AOBAOB.,【培优训练】1.如图
2、,在ABC中,C=2B,AD是ABC的角平分线,1=B.求证:AB=AC+CD.【解题指南】发现图中ACD与AED全等是解题的关键.,【证明】1=B,AED=2B,DE=BE,C=AED.在ACD和AED中,CAD=EAD,AD=AD,C=AED,ACDAED.AC=AE,CD=DE,CD=BE.AB=AE+EB=AC+CD.,【方法技巧】发现图中的基本图形沿角平分线翻折得到全等三角形.因此,当题目条件中给出角平分线时,就可以借助角平分线构造出全等三角形,从而得到相等的线段或相等的角.,2.如图,在四边形ABCD中,A+C=180,BD平分ABC.求证:DC=AD.【解题指南】借助角平分线这个
3、平台,构造全等三角形.在BC上截取BE=BA,根据已知条件证明BADBED,所以DA=DE,再证DE=DC,即可得证.,【证明】在BC上截取BE=BA,连接DE.BD平分ABC,ABD=EBD.在BAD和BED中,BA=BE,ABD=EBD,BD=BD,BADBED(SAS),DA=DE,A=BED.BED+DEC=180,A+C=180,C=DEC,DE=DC,DC=AD.,【教师备选】如图,已知APBC,PAB的平分线与CBA的平分线相交于点E,CE交AP于点D.求证:AD+BC=AB.,【证明】在AB上截取AF=AD,连接EF.AE平分PAB,DAE=FAE.在DAE和FAE中,AD=A
4、F,DAE=FAE,AE=AE,DAEFAE(SAS),AFE=ADE.ADBC,ADE+C=180.AFE+EFB=180,EFB=C.BE平分ABC,EBF=EBC.在BEF和BEC中,EFB=C,EBF=EBC,BE=BE,BEFBEC(AAS),BC=BF,AD+BC=AF+BF=AB.,二、中线+加倍延长全等三角形【知识点睛】1.如图所示,延长AD至点E,使DE=AD,连接EC.AD为ABC的中线,BD=CD.在ABD和CED中,BD=CD,ADB=EDC,AD=ED,ABDECD(SAS).,2.如图,已知AD是ABC的中线,分别过点B,C作BEAD于点E,CFAD交AD的延长线于
5、点F.AD是ABC的中线,BD=CD.BEAD,CFAD,BED=CFD=90.又BDE=CDF,BDECDF.这一基本图形称为间接“中线+加倍延长全等三角形”,在几何证明中,也相当有用.,【培优训练】3.已知:如图,AD是ABC的中线,点E在AD上,BE=AC,延长BE交AC于点F,求证:AF=EF.,【证明】如图,延长AD至M,使DM=AD,连接BM.AD是ABC的中线,BD=CD.在ACD和MBD中,AD=DM,ADC=MDB,CD=BD,ACDMBD(SAS),CAD=M,AC=BM.BE=AC,BM=BE,M=BEM,BEM=CAD.BEM=AEF,AEF=CAD,AF=EF.,4.
6、如图,AD是ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,BAC=BCA.求证:AE=2AD.,【证明】延长AD至点M,使DM=AD.AD是ABC的中线,DB=CD.在ABD和MDC中,BD=CD,ADB=MDC,AD=DM,ABDMCD(SAS),AB=MC,B=MCD.AB=CE,CM=CE.,BAC=BCA,B+BAC=ACB+MCD,即ACE=ACM.在ACE和ACM中,AC=AC,ACM=ACE,CM=CE,ACMACE(SAS),AM=AE.AM=2AD,AE=2AD.,5.如图,ABC中,AB=AC,D在AB上,F在AC的延长线上,且BD=CF,连接DF交BC于点E.求证:DE
7、=EF.,【证明】过点D作DGAF交BC于点G,ECF=DGE,DGB=ACB.AB=AC,ABC=ACB,ABC=DGB,DG=BD.BD=CF,DG=CF.在DGE和FCE中,DGE=ECF,DEG=CEF,DG=CF,DGEFCE(AAS),DE=EF.,三、平移、旋转全等三角形【知识点睛】1.平移型全等三角形如图所示,B=E,AB=DE,当A=D或ACB=DFE或BC=EF时,ABCDEF.这里的DEF可以看作是ABC平移得到的.因此,称这一基本图形为平移型全等三角形.,2.旋转型全等三角形如图所示,在ABC和ADE中,AB=AD,BAC=DAE,AC=AE,ABCADE(SAS).这
8、里的ADE可以看作是ABC绕点A旋转得到的.因此,称这一基本图形为旋转型全等三角形.,【培优训练】6.如图,已知A=F,ABEF,BC=DE,求证:ADCF.【证明】BC=DE,BC+CD=DE+CD,即BD=EC.ABEF,B=E.在ABD与FEC中,A=F,B=E,BD=EC,ABDFEC(AAS),ADB=FCE,ADCF.,7.如图,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度(090),得到正方形AEFG,FE交线段DC于点Q,FE的延长线交线段BC于点P,连接AP,AQ.(1)求证:ADQAEQ.(2)求证:PQ=DQ+PB.,【证明】(1)四边形ABCD是正方形,D=AEF=90,AD=AE.在RtADQ和RtAEQ中,AQ=AQ,AD=AE,RtADQRtAEQ(HL).(2)与证RtADQRtAEQ类似,证RtAEPRtABP,PB=PE,又QD=QE,PQ=QE+PE=DQ+PB.,
