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1、一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,四、泰勒(Taylor)中值定理,1 费马（Fermat)引理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证明:,几何解释:,2 罗尔(Rolle)定理,证,由费马引理可知，,注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.,例如,例1,2）唯一性,矛盾,由零点定理,即为方程的正实根.,证：1）存在性,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,化归证明法,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意
2、:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论1,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,例2,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例3,证,分析:结论可变形为,1 问题的提出,四、泰勒(Taylor)中值定理,不足,问题,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,3 泰勒(Taylor)中值定理,证明:,定理1（带lagrange余项的泰勒定理）,如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,定理2（带peano余项的泰勒定理）,如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则,几点说明：,4 常用n阶泰勒公式及其简单应用,解,解,其它函数的麦克劳林公式,
