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,第五节 曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,二、曲线凹凸的判定,三、曲线的拐点及其求法,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,一、曲线凹凸的定义,定义,凹弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。,凸弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。,定理1,二、曲线凹凸的判定,即证,两式相加为：,即证：,事实上：,例1,解,注意到,1 定义,注1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,三、曲线的拐点及其求法,证,2 拐点的必要条件,由可导函数取得极值的条件，,3 拐点的求法,方法1：,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例3,解,方法2:,注意:,例4,解,
