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1、一、引例 二、定积分的定义 三、定积分存在的条件四、定积分的性质,第一节 定积分的概念,（1）曲边梯形 在直角坐标系中，由三条直线 及一条连续曲线所围成的图形(如图5-1).,一、引例,1、曲边梯形的面积,其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间 为曲边梯形的底边.,过每一分点作平行于 轴的直线，把曲边梯形分割成 个窄曲边梯形.,分点，把区间 分成 个小区间 它们的长度依次为,(iii)作和 将 个窄矩形面积相加，就得到所求曲边梯形面积 的近似值，即.,(1)变速直线运动与匀速直线运动的差异 物体在 时间间隔中作匀速运动，其路程速度时间；物体在同一时间间隔作变速运动时，各时刻运动速度是变化的，即，其路
2、程 速度时间.,(2)计算变速直线运动路程的方法（i）分割 在时间间隔 内任意插入,2.变速直线运动的路程,个分点，,把区间 分割成 个小区间 相应地各小区间的路程依次为.,(ii)近似 在每一时间间隔 上任取一时刻，用 时刻的速度 代替 上各时刻的速度，这样第 时间间隔内物体,所经过的路程 的近似值为.,(iii)作和 将 段时间间隔的路程的近似值相加，就得到所求变速直线运动路程 的近似值，即.,(iv)取极限 令，当 时，取上述和式的极限，便得变速直线运动路程的精确值.,1.定义 设 是定义在区间 上的有界函数，在 中任意插入 个分点，相应地把区间 分成 个小区间 各小区间的长度依次为,在
3、每个小区间 上任取一点，,二、定积分的定义,作函数值 与小区间长度 的乘积，并作出和式，记，当 时和式总趋于确定的极限,且 不依赖于 的分法，也不依赖于 的选取，这时我们称 为函数 在 上的定积分，记作,积分和,积分下限,积分上限,，即,3.说明,(1)定义中 是要求取极限时保证各小区,间均缩成一点；虽然当 时，但当 时不能保证，故不能用 代替.,(2)定义中区间 的分割和各小区间上 的取法都是任意的.若 在 上的定积分存在，则 存在；若某特殊的和式的极限存在，并不能保证函数的定积分存在.,(3)定积分 仅与被积函数及积分区间,(4)当函数 在区间 上的定积分存在时，称 在区间 上可积.,4.
4、定积分的几何意义,既有正值又有负值时，,图54,定理1 在 上连续，则 在 上可积.,3.例题,两定理中的条件均为定积分存在的充分条件.,2.定理2 在 上有界，且有有限个间断点，则 在 上可积.,三、定积分存在的条件,例1 利用定积分定义计算,为计算方便，我们作两点补充规定：(1)当 时，；(2)当 时，.,1.性质 下面讨论的各性质中所列的定积分都是存在的，积分上下限的大小若不特别指明，均不加以限制.,四、定积分的性质,性质1,证,性质2,性质2的证明与性质1的证明类似.性质2可推广为有限个函数的代数和.,性质3 设,证 分区间时使 为一个分点，那么 上的 积分和等于 上的积分和加上 上
5、的积分和，记为,令，上式两端同时取极限，得,这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.无论 的相对位置如何，性质3总是成立的.当 时，,性质4 在 上，且，则,证,则，,即.,该性质称为定积分的保号性.,证,则,推论2,证,则 推论1，推论2仅限于积分下限小于积分上限.,性质6 设 分别是函数 在区间上的最小值和最大值，则,由定积分的几何意义可知，表示为以 为底，以 为高的矩形面积.,性质5 在 上，则.,由性质4的推论1和性质5可得上不等式.性质6的不等式称为积分估值公式.,证,性质7 若 在区间 上连续，则在积分区间 上至少存在一点，使下式成立：,性质7又称为定积分中值定理.此定理的几何意义是，在闭区间 上至少存在一点，使得,以 为底，为高的矩形面积，等于由直线 及曲线 所围曲边梯形的面积.,例2 证明.,2.例题,证 设，则 在 上连续，在 上单增，则,例3 证明.,证 设，在 上连续，,，由夹逼准则,有,而,
