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1、第二章 数列极限,1 数列极限概念 2 收敛数列的性质 3 数列极限存在的条件,第二章 数列极限,1 数列极限概念,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,播放,概念的引入,27,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
2、体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积
3、,正 形的面积,26,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,25,数列的概念,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2,4,8,2n,;,1,-1,1,(-1)n+1,.,24,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,23,数列xn可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,xn,.,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做
4、数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,22,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.,数列与函数,数列,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,21,数列的极限,播放,20,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,19,例如,当n无
5、限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为,数列极限的通俗定义,18,当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此,如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.,17,16,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a
6、 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|e总成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,0,NN 当nN时 有|xna|.,极限定义的简记形式,15,数列极限的几何意义,0,NN 当nN时 有|xna|.,存在 NN 当nN时 点xn可能落在邻域(a-e,a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e,a+e),14,极限定义的几点附注,1.定义中 是用来刻画接近程度的，可以限定小于某个正数，如1，0.5，0.01等；2.定义中 具有任意小性，乘一正数
7、仍如此，所以定义中用 代替 亦可。3.定义中用 代替 效果相同。4.定义中 N 并不一定找满足条件的最小者，因此可将 放大使之简便之后再找 N。5.定义中 可改写为.,13,分析:,例1,证明,0,NN 当nN时 有|xna|.,12,例2,分析:,证明,0,NN 当nN时 有|xna|.,11,分析:,例3 设|q|1,证明等比数列1,q,q2,qn-1,的极限是0.,对于 0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e+1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e,当nN时,有,因为 0,证明,N=log|q|e+1N,0,NN 当nN时 有|xna|.,10,例4,
8、证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,9,例5,证,8,例6.证明,证:0,则当nN时,有,(要证N,当nN时,有,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,7,例7.,证:,0,由于,6,要使|xn a|,则当 n N 时,有,5,例8.,证:(1)设 a=1,结论显然成立.,(2)设 a 1,从而,1+nn,4,0,3,(3)设 0 a 1,即 0,N,当nN时,有,.,(因 0 a 1),综合得,2,定义1的等价定义,定义1：,注：该定义在某些场合的证明中常常很见效，如书上26页例6，例7，例8.这些例题留给同学们自己阅读。,定义2.,定理2.1,数列 收敛于 的充要条件是：,1,小结,(1),数列极限的定义;,(2),数列极限的几何意义;,(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法.,作业,P27:2(2)(3)(5),3，5,0,
