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1、第七节 全概率公式,综合应用,第七节 全概率公式,加法公式,乘法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容,P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,(一)全概率公式,例如 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到2张入场券.大家都想去，怎么办？,入场券,入场券,空,空,空,抽签！,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大。”,解：显然，第一个人抽到入场券的概率为,下面，考虑第二个人抽到入场券的概率？,设A=第二个人抽到入场券,分析：A怎样发生的？,AB1,AB2,第一人抽到，第二人也抽到,第一人未抽到
2、，第二人抽到,则 AAB1+AB2,且 AB1和AB2互不相容,设B1=第一人抽到入场券,B2=第一人未抽到入场券,则 AAB1+AB2,且 AB1和AB2互不相容,所以 P(A)P(AB1)+P(AB2),运用加法公式得,P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2),运用乘法公式得,将公式一般化，就得到全概率公式,抽签不必争先恐后！,设随机试验的样本空间为。,1.全概率公式,AAB1+AB2+ABn,B1,B2,Bn为互不相容的完备事件组(划分),且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A,则,全概率公式的由来，不难由上式看出：,“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。,它的理论
3、和实用意义在于：,直接计算P(A)不容易时，考虑将事件A进行分割，借助样本空间的一个划分B1,B1,Bn将事件A 分成AB1,AB1,ABn，用所有的P(ABi)之和计算 P(A)，往 往可以简化计算。,例1 某工厂有3个车间生成同一种产品，据以往记录有以下数据：,车间 次品率 提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？,目标事件,解：设A=取到的产品是次品,分析：A怎么发生的？,划分样本空间：,1，2，3个车间将样本空间分为三部分,合格品和次品将样本空间分为两部分,(复杂！),2.全概率公式举例,车间 次品率 提
4、供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,Bi取到i车间的产品 i1,2,3,解：设A=取到的产品是次品,则 AAB1+AB2+AB3,A怎么发生的？,AB1,1车间的次品,2车间的次品,AB2,3车间的次品,AB3,车间1应承担多少责任?,在实际生活中，还会遇到下面一类问题，是,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？,或者问:,“已知结果求原因”,？,(二)贝叶斯公式,车间 次品率 提供份额 1 0.02 30 2 0.0
5、1 55 3 0.03 15,现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，试求这件次品来自车间1的概率？,？,车间 次品率 提供份额 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,结果已发生,Bi取到i车间的产品 i1,2,3,解：设A=取到的产品是次品,所求为,运用全概率公式,运用乘法公式,将公式一般化，就得到贝叶斯公式,P(B1|A),设随机试验是样本空间为。,1.贝叶斯公式,B1,B2,Bn为互不相容的完备事件组(划分),且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A,则,i=1,2,n,说明：,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果(事件A)发
6、生的最可能的原因。,该公式由贝叶斯(Bayes)给出。他是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”。全概率公式的思想是“由因推果”。,P(B2|A),2.贝叶斯公式举例,0.7,0.9,0.1,0.1,“”,“”,“”,“”,例2 无线通信中，由于随机干扰，当发送信号“”时，未必收到信号“”，,如果整个发报过程中，信号“”和“”分别占60%和40%，,当收到“不清”时，求原发信号为“”与“”的概率分别有多大？,“不清”,0.2,0,结果已发生,解：A收到信号“不清”,AB1,发出“”,收到“不清”,发出“”，收到“不清”,AB2,B1发出信
7、号“”，,B2发出信号“”,所求为,P(B1|A)，,例 3(疾病普查问题)某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,解:,设 A 试验结果是阳性，,AB1,有疾病，阳性,无疾病，阳性,AB2,B1抽查的人患有癌症,B2抽查的人不患有癌症,所求为,P(B1|A),依题意有,P(B1)=0.005,P(B2)=0.995,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.04,现在来分析一下结果的意义：,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个
8、人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率 P(C)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)=0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,提示,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再
9、试验来确认.,下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式,贝叶斯公式,P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计。,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,先验概率,后验概率,在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯。,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人。,甲,乙,丙,P(B1),P(B2),P(B3),但在知道案情细节后,这个估计
10、就有了变化。,P(B1|A),知道A发生后,P(B2|A),P(B3|A),这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们。,(三)小结,1)全概率公式主要用在事件A的发生有各种可能的原因Bi，这里B1,B2,Bn互斥。,第一种原因B1可能导致事件A发生，即：AB1第二种原因B2可能导致事件A发生，即：AB2第n种原因Bn可能导致事件A发生，即：ABn则事件A发生的概率就可以由全概率公式计算。,2)贝叶斯公式主要用在事件A已发生的情况下，考虑各种可能的原因Bi，,有三个箱子，装球情况如下：1）1号箱装有1个红球4个白球；2）2号
11、箱装有2个红球3个白球；3）3号箱装有3个红球。,从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求：1)求摸出红球的概率;2)若发现摸出的是红球，求该球是来自1号箱的 概 率。,思考练习,敏感性问题的调查,调查方案核心是如下两个问题：,A：你的生日是否在7月1日之前(不含7月1日)？B：你是否在比赛前服用过违禁药品？,被调查者只需回答其中一个问题，至于回答哪一个问题，摸球确定.,从一罐中随机取出一球，若白球，回答问题A；若红球，回答问题B.,不管是回答问题A还是B，只需在答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入投票箱.,(在无人屋中自己完成),例 罐中有50个球，其中30个红球，某省在五天内安排了15个项目的运动员246名参加调查，最后开箱统计，答卷全部有效，其中回答“是”的有54张，问该省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品.,解：设事件A表示答“是”，,分析：A怎么发生的？,取到白球，回答问题A,取得红球，回答问题B,情况1,情况2,设事件B1表示取到白球，B2表示取到红球,则,即,
