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1、第七章 非线性方程的求根,/*Solutions of Nonlinear Equations*/,求 f(x)=0 的根,7.1 方程求根与二分法,一、本章解决的问题,二、求根的两个步骤,三、二分法,一、本章解决的问题,在科学计算中常要求解各种方程，,这些方程看似简单，但难于求其精确解。而实际问题：只要能获得满足已定精确度的近似根就可以了。,高次代数方程,超越方程,本章解决的问题：,f(x)为非线性函数或高次代数方程，若有数x*使f(x*)=0成立，则称x*为方程f(x)=0的根(零点)。,求 f(x)=0 的根,若f(x)可分解为,m是正整数，且g(x*)0,当m=1，称x*是单根；当m
2、1，称x*是m重根.,方程根的几何意义,二、求根的两个步骤,(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根)，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间”(2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。,如何求有根区间呢？,逐步扫描法,原理：设f(x)在a,b连续，且f(a)f(b)0。则由连续函数的性质知f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。若f(x)在a,b上单调，则f(x)=0在(a,b)上有且仅有一个根。,x,y,y=f(x),0,故总假设(a,b)上有唯一根,逐步扫描算法,(1)x0a；,(2)若 f(x0)f(x0+h)0，则x*必在(x0,x0+h
3、)中，取 x0或 x0+h作为有根区间，否则转(3);,(3)x0 x0+h，转(2)；,例如 考虑方程,解 由于,故方程至少有一个正实根。,设从x=0出发，取h=0.5为步长向右计算，将各个点上的函数值列于下表：,由于,且 f(x)在区间1，1.5上满足,由此可知在(1，1.5)内有且仅有一个实根，故可取,作为有根区间。,(1，1.5),下面将介绍几种常用的数值解法：二分法简单迭代法牛顿迭代法弦截法,三、二分法/*Bisection Method*/,1.二分法的原理,原理：若 f Ca,b，且 f(a)f(b)0，则 f 在(a,b)上必有一根 x*。,2.二分法的实施,将方程根的区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根的区间，而把有根区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此周而复始，直到求出满足精度要求的近似根。,x1,x2,a,b,When to stop?,或,不能保证 x 的精度,x*,2,
