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1、第三章 常微分方程的差分方法,高 云,问题的提出,实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。,常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。,常微分方程的定解问题,考虑一阶常微分方程的初值问题,只要 f(x,y)在a,b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x,y 无关的常数 L 使对任意定义在 a,b 上的 y1(x)和 y2(x)
2、都成立，则上述问题存在唯一解。,差分方法,要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi=h(常数)。,在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化导致不同的方法。,欧拉公式,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法,欧拉格式的误差,Ri 的主项,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度。,例题1,如何求解此问题？,隐式欧拉格式,由于未知数
3、 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,隐式欧拉格式的代数精度是几阶的？,两步欧拉格式,中心差商近似导数,假设，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法/*double-step method*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-step method*/。,初值问题的积分形式,一阶方程的初值问题与积分方程,当x=x1时，,借助于数值积分，求y(x1)的值,用矩形公式,是等价的,梯形公式,用梯形公式,同理,简单,精度
4、低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,各种方法的比较,改进的欧拉格式,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,龙格-库塔方法,龙格-库塔方法的设计思想,根据微分中值定理,根据初值条件定义,则,平均斜率,改进的欧拉格式,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,二阶龙格-库塔方法,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，
5、即在 的前提假设下，使得,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开,二阶龙格-库塔方法（续）,Step 2:将 K2 代入第1式，得到,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,二阶龙格-库塔方法（续）,要求，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,龙格-库塔方法一般推导公式,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和 ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,龙
6、格-库塔方法的注意事项,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,亚当姆斯方法-线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式;1=0 则为显式公式。,线性多步法,亚当姆斯格式的基本思想,利用前面已知点上的斜率的加权平均来近似平均斜率,两种构造方法,基于泰勒展开的构造法,将通式中的右端各项 yi1,yik;fi+1,fi1,fik 分别在 xi 点作泰勒展开，与精确解y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较。通过令同类项系数相等，得到足以确
7、定待定系数0,k;1,0,k 的等式，则可构造出线性多步法的公式。,两种构造方法,基于数值积分的构造法,将 在 上积分，得到,只要近似地算出右边的积分，则可通过 近似y(xi+1)。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。,泰勒展开方法举例,解：,/*y(xi)=yi*/,泰勒展开方法举例,7,5,个未知数 个方程,此方程的解不唯一，可以根据自己的需要另设两个条件。,收敛性与稳定性,常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。,为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：
8、,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题,误差估计（局部截断误差和全局误差）,产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题,收敛性与稳定性,收敛性,对于任意固定的 xn=x0+nh，如果数值解 yn当 h 0（同时n）时趋向于准确解 y（xn），则称该方法是收敛的.,欧拉公式的收敛性,存在常数C使得,收敛性与稳定性,收敛性与稳定性,称为整体截断误差,是1阶,收敛性与稳定性,收敛性与稳定性,稳定性,如果一种差分方法在节点值 yn上大小为 的扰动，于以后各节点值 ym（m n）上产生的偏差均不超过，则称该方法是稳定的.,稳定性问题比较复杂，为简化讨论，我们
9、仅考察下列模型方程 y=y，0,收敛性与稳定性,模型的欧拉格式为,yn+1=（1+h）yn,模型的欧拉格式为,则,n+1=（1+h）n,要使,|yn+1|yn|,则,|1+h|1,稳定条件,0 h-2/,收敛性与稳定性,模型的隐式欧拉格式为,yn+1=yn+hyn+1,解出,恒成立,总有,结论,恒稳定,|yn+1|yn|,方程组与高阶方程的情形,一阶方程组的一般形式,方程组与高阶方程的情形,化高阶方程为一阶方程,方程组与高阶方程的情形,令,则有,边值问题,考虑常微分方程的边值问题：,其中p(x)，q(x)和f(x)均为a,b上给定的函数，,，为已知数。,假定p(x)、q(x)及f(x)均为a,
10、b上充分光滑的函数，且q(x)0，这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。,边值问题,用差分法解边值问题的主要步骤是：,（1）将区间a,b离散化；,（2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程 化为差分方程；,(3)解差分方程实际上就是解线代数方程组。,将a,b区间用节点,分成N等分，其中x0=a与xN=b 称为边界点，,而x1,x2,xN-1称为内点。,边值问题,例9.7 试用差分法解方程,解 将0,1划分为四等分，即取，得五个节点,差分方程为,边值问题,将它改写成,在每个内点列方程得,由追赶法公式解得：,y3=1.4855 y2=1.2802 y1=0.7753,本章结束,谢谢大家！,
