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1、第4章 函数逼近的插值法,引言,许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间a，b上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出a,b上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。,引言,4.1 Lagrange插值法,Lagrange插值法,构造插值基函数,引理1 设在区间a,b上有n+1个互异节点，如果n次多项式 满足则,构造插值函数Ln(x),再证唯一性,计算机上算法实现(描点法),上式在计算机上实现容易：,Lagrange
2、插值算法,误差估计,由Rolle定理知：的相邻两个零点之间至少存在一个零点，即 在（a,b）内至少有n+1个互异零点。同理对 应用Rolle定理知：在（a,b）内至少有n个互异零点，如此反复应用Rolle定理n+1次知：在（a,b）内至少有一个零点。,特例,例题,抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。（3）相应的误差估计：,关于Langrange插值的几点说明,仅与已知数据 有关，与 的原来形式无关，但余式与 密切相关。若 本身是一个不超过n次多项式，则,从 角度观察，内插误差要小些，即。而外插有可能误差变大，因此要慎用。Langrange插值也有其不足 为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的 全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；,差商,差分与Newton插值,差商的性质,证明:用数学归纳法.,2,2,差商的性质,
