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1、有限覆盖定理：,使得,证明：用反证法.,则存在有限子系,假设不然，,即,不能被,将这样的一半记作,（如果两半都如此，,任取其一）.,中有限个开区间覆盖.,其中至少,这样我们得到区间套,存在唯一点,由区间套定理知，,因为,与区间套的构做方式矛盾.,开区间,被开区间系,覆盖,存在有限子系,使得,例如,令,则,但不能被其任意一个有限子系覆盖.,闭区间,被闭区间系,覆盖,存在有限子系,使得,例如,令,则,但不能被其任意一个有限子系覆盖.,1.非空实数集若有上(下)界则必有上(下)确界.,2.单调有界数列必收敛.,3.区间套定理.,4.有界数列必有收敛子列.,5.数列收敛当且仅当它是Cauchy列.,6
2、.有限覆盖定理.,以上六条等价！,已经证过的结论：,单调有界必有极限(2),有上界必有上确界(1),设A是一个非空实数集，,某个元素不是自己的上界.,有上界.,不妨设A 的,将此元素记作,A 的一个上界记作,则令,否则令,令,令,如此我们得到一个数列,有下界,记,易知,其每一项都是A 的,一个上界，,数列,单调减少、,所以收敛。,由保序性,所以 s 是上确界.,因为,所以,有限覆盖定理(6),因为没有收敛子列，,存在有限个,使得,Bolzano定理(4),分别是其一个下界，,一个上界，,所以,由有限覆盖定理，,因为每个开区间,只含,中有限项，,中有限项，,矛盾！,项，,中,有限覆盖定理(6),
3、中至少有一个,记,这样找到有界数列,存在收敛子列,假设,开区间都不能覆盖,中,记作,由例题的结论，,Bolzano定理(4),记,则,且,有,因为,所以,使得,所以,且,Cauchy收敛准则(5),单调有界必收敛(2),但发散.,由Cauchy收敛准则知,对于,存在,对于,存在,对于,存在,所以,使得,使得,使得,矛盾！,1,2,3,4,5,6,有上(下)界则必有上(下)确界,Cauchy收敛准则,Bolzano定理,区间套定理,单调有界必收敛,有限覆盖定理,邻域,即,开区间,聚点,设集合,若对于任意正数,例如,A 中每个点都是A 的,聚点,也都是A 的聚点.,例如,则 A只有一个聚点,是A 的一个聚点的充要条件是,命题,从而有收敛子列,记,7.,有界无穷集必有聚点.,证明,任取,设A是有界无穷集.,是有界无穷集,任取,是有界无穷集,任取,含有 A 中无穷多个点,记,1),A 是有限集.,这些项组成的子列是常数列,收敛.,2),A 是无限集.,此时A有聚点,记 a 是 A 的,一个聚点.,记作,令,中标号大于n1的一项,记作,因为,从而,令,中标号大于 n2 的一项,记作,1,2,3,5,6,有上(下)界则必有上(下)确界,Cauchy收敛准则,4 Bolzano定理,区间套定理,单调有界必收敛,有限覆盖定理,7 有界无穷集必有聚点,
