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1、1,第三章 离散傅立叶变换,Discrete Fourier Transform,2,本章学习内容,了解四种信号的傅立叶变换的数学概念及特点深刻理解有限长序列DFT的定义及概念掌握序列DFT与序列DTFT和Z变换的相互关系掌握利用DFT分析任意信号频谱的原理和方法掌握利用DFT实现序列线性卷积的原理和方法掌握改善DFT分析信号频谱中误差的方法,3,有限长序列的傅立叶分析,四种信号傅立叶表示有限长序列离散傅立叶变换DFT矩阵表示利用MATLAB计算DFT,4,1、连续时间非周期信号傅氏变换,时域：连续、非周期 频域：非周期、连续,5,2、连续时间、离散频率傅里叶级数,时域：连续、周期 频域：非周
2、期、离散,-,-,0,T0为时域周期，0为频域相邻谱线之间的角频率间隔，k为谐波序号,6,3.序列的傅氏变换DTFT,离散时间、连续频率序列傅里叶变换,时域：离散、非周期 频域：周期、连续,T为时域取样间隔，s为频域的周期,7,4.周期为N的离散信号（序列）-傅立叶级数,8,0,0 1 2 3,k,x(nT)=x(n),t,0,T,2T,1 2 N,n,NT,频谱特点：周期为N的离散谱,9,有限长序列离散傅立叶变换,长度为M的信号 的N点DFT,，k=0,1,N-1,N称为DFT变换区间长度，NM,其中,，n=0,1,N-1,10,有限长序列DFT与DTFT关系,，k=0,1,N-1,，k=0
3、,1,N-1,结论：有限长序列x(n)n=0N-1的DFT X(k)是序列傅立叶变换X(ej)在一个周期0，2 上的等间隔取样,11,12,DFT与DFS关系,DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对,13,解,14,解,15,解,如果在序列后补零，其DFT有什么变化？,16,17,DFT矩阵表示,18,19,20,N=16;k=0:N-1;L=0:511;x=cos(2*pi*k*4./16);X=fft(x);subplot(2,1,1)plot(k/16,abs(X),x);ylabel(Magnitute);xlabel(Normalized frequency)%hold o
4、n;XE=fft(x,512);subplot(2,1,2)plot(L/512,abs(XE),xr);ylabel(Magnitute);xlabel(Normalized frequency);,21,1、线性性质,0kN-1,离散傅立叶变换的性质,，,22,2、循环移位性质,（1）序列的循环移位 设 为有限长序列，长度为N 称为 的循环移位序列。,23,24,（2）时域循环移位定理,如x(n)长度为N，其循环移位为,0kN-1,则,时域循环移位对应频域相移,25,证明：,令n+m=n，则有,由于上式中求和项x(n)N和 WNkn以N为周期,26,（3）频域循环移位定理,如果则,频域循环
5、移位对应时域相移,27,循环卷积定理1、循环卷积定义 设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列，定义循环卷积：n=0,N-1记为同线性卷积一样，满足交换率,28,循环卷积的直接计算步骤为 沿拓 翻转 取主值 循环移位 乘积 累加例3-2-2：已知 做N=8的循环卷积y(n)。解：1.先进行变量代换，将 变成 2.接着将 周期延拓为 反褶后得到 3.从n=0开始，对每一个n=0,N-1,对进行循环移位并取主值形成 4.再分别将 与 对应的m点从 m=0到m=N-1逐点相乘，并将乘积累加就得到了各个点的y(n).计算过程如下：,29,演示文件（循环卷积flash）,30,循环卷积矩阵表示,31,2
6、、循环卷积定理,有限长序列 和，长度分别为N1和N2，,32,证明：,按照定义，有,令n-m=n，则有,33,同理可以证明频域卷积定理：,34,4、复共轭序列的DFT,设则,，0 k N-1,且 X（N）=X（0）,另有,证明：,35,5、DFT的共轭对称性,（1）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 a、有限长共轭对称序列,b、有限长共轭反对称序列,36,任意有限长序列，可分解为：将上式，并取共轭，得,37,*,*,*,*,*,*,Page75:图形有误，需更正,38,（2）DFT的共轭对称,（a）如果,其中,则,39,（b）如果,其中,则有,则,其中,40,（3）有限长实序列的共轭对称性,（a）X（k）的共轭对称性为,（b）如果 实偶对称,则X（k）实偶对称，即,（c）如果实奇对称则利用以上性质，可在DFT的计算中提高运算效率，减少运算量。,41,（a）X（k）的共轭对称性为,证明：,42,（b）如果 实偶对称,则X（k）实偶对称，即,证明：,43,44,例：,利用共轭对称性，可以使用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减少计算量。,45,46,重点内容回顾,离散傅立叶变换的概念DFT的各个重要性质,47,课后作业,课后作业1（6）（8），2，6下列变换或运算的关系的掌握DFT与DFSDFT与DTFT以及ZT的关系,
