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1、第三章 离散傅里叶变换,主要内容,离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）抽样z变换频域抽样理论,3.1 引言,傅里叶变换的几种形式：,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,FT,3.2 傅里叶变换的几种可能形式,FS,时域周期化，频域离散化,时域离散化，频域周期化。,DTFT,但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。,若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。,四种傅里叶变换形式的归纳,3.3
2、离散傅里叶级数DFS(Discrete Fourier Series),连续周期信号:,周期序列(r 为整数,N 为周期),周期序列的DFS正变换和反变换：,其中：,一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,可看作是对 的一个周期 做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角 抽样得到,DFS的图示说明,例：周期序列 展开为DFS，求其系数。,解：方法1 整理x(n)有(N=12)：,与DFS定义对比知：在 和 时：,方法2 由定义式直接计算，得,3.4 离散傅里叶级数的性质FS性,1、线性：,其中，为任意常数,若,则,2、序列的移位,3、调制特性,4、对偶性,证：,5、周期卷积和,若,则,
3、讨论:周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在),式中的卷积称为周期卷积,同样，利用对称性,若,则,3.5 离散傅里叶变换有限长序列的离散频域表示,在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换,另外一种写法是,其中 表示对 n 取模N 运算(或模 N的余数)。,对周期信号而言,或。,举例：设周期为 N=6。则有周期序列和求余运算：或 这是
4、因为：(19=36+1)同理 或 这是因为：(-2=-16+4),同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,有限长序列的DFT定义式,关于离散傅里叶变换(DFT)：,序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。n为时域变量，k为频域变量。离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。,x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间0,2上的N
5、点等间隔抽样。,例1、计算(N=12)的N点DFT.解：,N=4点的DFT？,3.6 离散傅里叶变换的性质,1、线性,这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。时域序列的调制等效于频域的圆周移位,2、圆周移位,其中；同理可证另一公式。,证：,推论：,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位,若,则,证：,3、对偶性,4、圆周
6、共轭对称性,其中：,共轭反对称分量：,共轭对称分量：,任意周期序列：,定义：,则任意有限长序列：,圆周共轭反对称序列：,圆周共轭对称序列：,设N点复数序列,证明：,则,同理可证明：,序列 DFT,共轭对称性,序列 DFT,实数序列的共轭对称性,纯虚数序列的共轭对称性,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,五、Parseval Theory,若令 y(n)=x(n),表明序列时域、频域能量相等,六、圆周卷积和,圆周卷积A：设,则,实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即,圆周卷积B：设,圆周卷积记为,N,N,圆周卷积过程：1）补零2）周期
7、延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加,两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列。,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3,讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明,讨论2:圆周卷积与线性卷积：,1)设,有限长(N点),有限长(M点),则线性卷积,有限长(N+M-1),2)而作长度为L的圆周卷积，即,(周期卷积),其中,L,则,(补零),存在交叠现象,这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积。,讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积,周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。作圆周卷积 时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数 L=N+M+1。,物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系（后面将说明这是有限序列运算与对应的频谱运算的关系）。,七、线性相关与圆周相关,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相关定理,
