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1、第三章 图像变换,什么是图像变换？,图像变换：图像变换是将图像从空间域变换到其他域的数学变换。这种变换方法针对于数学函数而言。空间域：研究对象是空间坐标函数 I=f（x，y）频率域：研究对象是频率函数 I=f（w）,图像变换的目的,目的：简化图像处理问题有利于图像特征提取有助于对图像信息概念的理解,0频率空间 低频率空间 高频率空间 图 频率与空间的对应,常用的几种图像变换,常用的变换方式为二维正交可逆变换。正交变换特点是变换域中图像能量主要集中分布在低频率成分上，边缘、线信息反映在高频成分上。常用变换算法：傅立叶变换沃尔什-哈达玛变换哈尔变换离散余弦变换小波变换,附：正交变换,连续函数集合的
2、正交性,正交变换,正交函数的离散情况,正交变换,一维正交变换,主要内容,预备知识傅立叶变换其他可分离图像变换,3.1 预备知识3.1.1 单位脉冲函数,图像可以看成由多个像素组成，每个像素可以看成为一个点源。点源可用狄拉克函数表示，即单位脉冲函数 满足,y,x,(x，y),单位脉冲函数性质,偶函数；位移性；可分性；采样性,3.1.2 线性位移不变系统,系统：线性系统：对于某特定系统，有 x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)线性条件从而有：ax1(t)ay1(t)齐次性条件,系统,x(t)输入,y(t)输出,线性位移不变系统
3、,二维线性系统综合线性系统的线性条件和齐次性条件，二维线性系统表示为Ta1 f1(x，y)+a2 f2(x，y)=a1T f1(x，y)+a2T f2(x，y)二维线性平移不变系统 平移不变性：若点脉冲函数(x，y)系统脉冲响应h(x，y)，则当输入信号沿时间轴平移，有：(x,y-)h(x,y-)线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应的卷积 g(x，y)=f(x，y)*h(x，y),3.2 傅立叶变换,傅立叶变换:周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示傅里叶变化域频域,一维连续傅立叶变换,一维连续傅立叶变换设函数 f
4、(x)为实变量的连续函数，则其傅立叶变换定义为其逆变换为,一维连续傅立叶变换,欧拉公式 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量，源于欧拉公式中的指数项 exp-j2ux=cos2ux-jsin2ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中频率变量u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。,一维连续傅立叶变换,函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：复数形式振幅相位能量,二维连续傅立叶变换,二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x,y)连续可积，F(u,v)可积,则将有下面的傅立叶变换对存在：,二维傅立叶变换的傅立叶谱
5、和相位谱为：,3.2.2 离散傅立叶变换,离散傅立叶变换：由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系,一维离散傅立叶变换,一维离散傅立叶变换,x=0,1,N-1,u=0,1,N-1,离散傅里叶变换满足正交条件,的原信号序列的傅氏变换,对前述N4情况，设每一个矩阵元表示成,二维离散傅立叶变换,二维傅立叶变换：,傅立叶谱谱显示特性,傅里叶谱显示特性中心位移：将傅里叶谱原点移到窗口中心。由于实际变换结果左上、下和右上、
6、下四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分。为适应人的视觉习惯，需要通过换位方法，将中央和四周位置互换。显示理解：中间低频，周围高频对数显示：减缓衰减速度，便于理解，通常采用lg(1+|F(u,v)|)对数显示，,图像中心化,（a）原图像,（b)傅里叶变换 后图像,（c）中心化 后图像,（d）对数显示 图像,典型图像的傅立叶变换,实际图像的傅立叶变换,图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。,(a),(b),3.2.3 傅立叶变换性质,二维离散傅立叶变换特性,变
7、换可分离性比例性质对称性旋转不变性卷积,线性空间和频率位移周期与共轭对称均值性相关,傅立叶变换性质,1、周期与共轭对称,傅立叶变换性质,周期性 M,N为变换周期共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数,傅立叶变换性质,2、可分离性二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：二维DFT可分离为两次一维DFT应用：二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的,傅立叶变换性质,先对列做变换：,然后对行进行变换：,平移性,幅度谱,相位谱,幅度谱不变，相位谱改变,傅立叶变换性质,傅立叶变换性质,3、平移性 当u0=M/2,v0=N/2,傅立叶变换性质,傅立叶变换性质,傅立叶变换
8、性质,4、旋转特性如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度。,傅立叶变换性质,5、分配律,傅立叶变换性质,傅立叶变换性质,6、尺度变换 对于系数a和b时域扩展引起频域的压缩，反之亦然,512x512 FFT,256x256 FFT,af(x,y)放大,图像尺寸放大,图像比例放大,512x512 FFT,512x512 FFT,f（ax,by）比例放大,FFT频域压缩,傅立叶变换性质,7、均值性离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值,傅立叶变换性质,8、离散卷积定理空域中的卷积等价于频域中的相乘，反之亦然,傅立叶变换性质,9、离散相
9、关定理空域中的函数f(x,y)和g(x,y)相关等价于F(u.v)共轭与G(u,v)相乘互相关自相关,傅里叶谱分布特性,二维傅里叶变化分布特性,傅立叶变换,由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。,附：图像变换常用MATALAB函数,fft2 用于数字图像的二维傅立叶变换。由于MATLAB无法显示复数图像，因此变换后的结果还需进行求模运算，即调用abs函数。之后常常还进行对数变换，即调用log函数，以减缓傅里叶谱的快速衰减，更好地显示高频
10、信息。fftshift 用于将变换后图像频谱中心从矩阵原点移动到矩阵的中心.如：i=imread(e:w01.tif);j=fft2(i);j1=fftshift(j）；imshow(log(abs(j1);,ifft2 用于数字图像的二维傅立叶反变换.如：i=imread(e:w01.tif);j=fft2(i);k=ifft2(j);,附：图像变换常用MATALAB函数,3.3 其他可分离图像变换（选）沃尔什-哈达玛图像变换,沃尔什-哈达玛变换不考虑函数值，只考虑过函数零点位置的分布特性，可以形成包含1和-1状态的正交函数集，进行更简单的变换。,Wash变换核矩阵Hadamard变换核矩阵
11、,变换核矩阵,沃尔什变换N=4的变换核值，不考虑常数因子1/N值只有（1,-1）的对称矩阵具备正交性和完备性,变换核矩阵,哈达玛变换N=4的变换核值不考虑常数因子1/N与Wash变换核矩阵行列次序不同具有递推性,2、4、8阶沃尔什变换核矩阵,对于N=2、4、8，沃尔什变换核矩阵分别为：,可以看出，沃尔什变换核是一个对称矩阵，其行和列是正交的。,2、4、8阶哈达玛变换核矩阵,可以看出，哈达玛变换核矩阵具有递推，其行和列是正交的。,沃尔什-哈达玛图像变换,一维离散沃尔什-哈达玛图像变换二维离散变换分为两步一维变换，由于核是对称和可分离的，可写为,二维沃尔什变换矩阵表示为：,二维沃尔什反变换矩阵表示
12、为：,例：N=4二维沃尔什变换,图像矩阵：,变换核矩阵：,二维沃尔什变换：,例：有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维WHT,根据题意，M=N=4，其二维WHT变换核为,其他可分离图像变换,沃尔什-哈达玛变换性质实的、对称的、正交变换核可分离，二维变换可简化为两次一维变换计算快速，只包含加减、无乘法具有好的能量集中特性在需要处理大量数据的图像处理问题中应用广泛,其他可分离图像变换,离散余弦变换（DCT）傅里叶变换的一个问题是参数都是复数，因此在数据的描述上相当于实数的两倍。当f（x，y）为偶函数时，傅里叶变换的计算公式虚部为0，只剩下余弦项，这就是余弦变换。余弦变换是傅里叶变换的特
13、例，是其简化方法。,其他可分离图像变换,考虑信号：,xn的DFT频谱：,xn的DCT谱：可以看出，DCT主要能量比DFT更集中在低频，这样，就可以舍弃较高频段，实现信号的压缩。,DCT的能量压缩特性,其他可分离图像变换,余弦变换性质序列的余弦函数是傅里叶函数的对称扩展形式核可分离，可以用两次一维变换来计算能量向低频集中（左上角）具有良好的信息压缩能力,余弦变换的低频集中特性,附：图像变换常用MATALAB函数,dct2函数,idct2函数功能：计算二维离散余弦变换/反变换用法：B=dct2(A)例：I=imread(autumn.tif);J=dct2(I);imshow(log(abs(J)
14、,)J(abs(J)10)=0;%去除小于10的值，进行压缩 K=idct2(J);imview(I)imview(K,0 255),附：图像变换常用MATALAB函数,dctmtx函数功能：计算余弦变换核矩阵用法：D=dctmtx(n)，矩阵大小为n*nBlkproc函数功能：对图像进行分块处理用法：B=blkproc(A,m n,fun)B=blkproc(A,m n,fun,P1,P2,.)A为输入图像，分块大小为m行n列，fun为处理函数,P1，P2.为函数参数,利用余弦变换实现图像压缩实例,利用余弦变换实现图像压缩实例,I=imread(cameraman.tif);I=im2dou
15、ble(I);T=dctmtx(8);B=blkproc(I,8 8,P1*x*P2,T,T);%T*I*Tmask=1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;B2=blkproc(B,8 8,P1.*x,mask);%保留图像左上角主要成分I2=blkproc(B2,8 8,P1*x*P2,T,T);%余弦反变换imshow(I),figure,imshow(I2),课后作业,自行选取一幅图像，应用MATLAB工具箱实现傅立叶变换、离散余弦变换。,
