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1、第三章 数字滤波器的设计(上),对信号进行分析和处理时，常遇到有用信号被噪声污染的问题。因此，从信号中消除或减弱噪声，成为信号传输与处理中十分重要的问题。根据有用信号与噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波。实现滤波功能的系统或装置称滤波器。经典的滤波器是具有选颁特性的电路，当噪声与有用的信号具有不同的频带时，它们通过滤波器后，噪声将被衰减乃至消除，有用的信号得以保留。当噪声与有用信号的频带重叠时，上述滤波器(或称为经典滤波器)就无法实现既消除噪声，又保留信号的功能。,3-1 信号通过线性系统不失真的条件,信号在传输的过程中，由于传输系统的影响，总会产生某种程度的失真。信号
2、的不失真传输，是指系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度的大小和出现的时刻有所不同，不存在形状上的变化。若系统的激励信号为x(t)，响应为y(t)，则不失真传输的含义用数学公式表示为式中，K为常数，t0为滞后时间上式表明，与激励信号x(t)相比，系统的响应信号y(t)的幅度变为原信号的K倍，在时间上延迟t0，波形的形状不变。,不失真传输时系统的激励响应曲线,关于信号通过线性系统不失真的条件，不加以证明地给出以下结论,|H(j)|,(),x(t),y(t),t,t,t0,-t0,表明：信号不失真传输时要求系统的幅频特性|H(j)|为一常数，且相频特性()为过原点的直线(即具有线性相位特性)，
3、如上图所示。,3.1.2 理想模拟滤波器,用于处理模拟信号的滤波器称为模拟滤波器模拟滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器等类型，幅频特性曲线如下图所示。理想滤波器通带内的幅频特性均具有不失真传输的特性。这种特性实际上不可实现。实际滤波特性的通带与阻带之间没有明显的界限，而是逐渐过渡的。,求H(j)的傅立叶逆变换，可得该滤波器的冲激响应为h(t)。,可见，冲激响应是一个延时t0的抽样函数Sac(t-t0)。由于冲激响应在激励出现之前(t0)就已出现，因此该滤波器为非因果系统；在物理上不可实现。,(),|H(j)|,-t0,3.1.3 理想低通滤波器的冲激响应常见一
4、种理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性,物理上可实现与不可实现系统的界定佩利-维纳准则。一个系统的|H(j)|如果满足|H(j)|物理可实现的必要条件佩利-维纳准则。,对于物理可实现系统，可以允许|H(j)|在某些不连续的频率点上为0，但不允许在一个有限频带范围内为0。理想滤波器是非因果系统，物理不可实现。但有一些线性时不变因果系统的幅频特性与理想滤波器的幅频特性相近似，而这样的系统又是物理上可实现的。这一条件限制了频率特性不能衰减过快。,3-2 频选模拟滤波器设计,工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波
5、器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似。,巴特沃斯滤波器,切比雪夫滤波器,椭圆滤波器,频选滤波器的基本特征(功能、电路、方式、实现模型),根据滤波器幅频特性的通带与阻带的范围，可将其划分为低通、高通、带通、带阻和全通(主要用途是改变信号频谱的相位)等类型。根据构成滤波器元件的性质，可将其划分为无源与有源滤波器，前者仅由无源元件(不产生能量)组成，后者则含有源器件。,根据滤波器所处理的信号性质，可将其划分为模拟滤波器和数字滤波器，模拟滤波器用于处理模拟信号(连续时间信号)，数字滤波器用于处理离散时间信号。根据滤波器实现的数学模型划分，有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器。,实际模拟低
6、通滤波器,工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃兹滤波器、切贝雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似。以低通滤波器为例：如果滤波器的频率特性满足某种要求，我们就认为它达到要求。,所需要探讨的是：如何提出要求？如何满足要求？,工程用滤波器的性能指标由于工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。因此，为了满足一个工程滤波器设计的要求，往往给出一个逼近理想滤波器的容限，只要满足这个容限即认为该滤波器设计满足要求。,在通带内：,在阻带内：,3-3巴特沃斯滤波器,巴特沃斯滤波器是根据在通带幅频特性
7、内具有最平坦特性而定义的滤波器对一个N阶滤波器来说，其平方幅频特性函数的前(2N-1)阶导数在=0处都为零。巴特沃斯低通滤波器的幅频特性为,式中，N为滤波器阶数；c为滤波器的截止频率。滤波器阶数N越高，幅频特性越接近理想低通滤波器。,对于所有的N：对于所有的N：|H(j)|2是的单调下降函数|H(j)|2随着阶数 N的增大而更接近理想低通滤波器令c=1得到其归一化的传递函数HN(j)。其频率响应为：,巴特沃斯滤波器的主要特性如下：,其极点为：,由于模拟系统的传递函数与频率响应之间以s=j相联系，将=s/j代入归一化的传递函数表达式，有,半功率点,注意：s是一个复平面,该系统应有2N个极点且偶对
8、称！,线性坐标,分贝坐标,其极点在S平面上的分布如图所示。,起始极点位置不同；极点间相差的角度都为/N。,N为奇数,为了保证滤波器系统HN(s)稳定，要求它的所有极点均在S平面的左半部分。构造系统HN(s)具有左半平面极点；HN(-s)具有右半平面极点。,模为1在复平面上是一个单位园；极点应在单位园上对称分布。,因此，一个稳定巴特沃斯滤波器的传递函数应为,由于随着阶数的变化，各极点值为已知，所以通过造表、查表，可以构成各阶归一化(c=1)的巴特沃斯滤波器的传递函数。巴特沃斯低通滤波器的设计方法设计步骤(1)根据实际参数确定模拟滤波器的阶数N。(2)查表构造归一化的滤波器传递函数HN(s)。(3
9、)根据变换关系给出的变换公式置换HN(s)中的变量s得到最终的滤波器传递函数。(4)用电子电路实现该传递函数。,sk在左半S平面中,巴特沃斯多项式,例 设计一个低通巴特沃斯滤波器，以满足：通带截止频率：1=20 rad/s，通带内衰减k1-2dB阻带截止频率：2=30 rad/s，阻带内衰减k2-10dB解：根据已知条件有,化简为,两式相除消去c，得,将两式带入得联立方程,取对数乘10,将N解出,选N=4，查表得4阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为,值得指出的是，此时的滤波器为截至频率c1 rad/s(f=0.16Hz)时的低通滤波器。将N4，带入对应的式子求解c。如果要求通带在1处刚
10、好达到指标k1，则将N带入(a)式；如果要求通带在2处刚好达到指标k2，则将N带入(b)式求取c(实际滤波器的截止频率)。,假设，本题在求解c时应使用(a)式。解得c21.387(fc=3.4Hz)此c是衰减为3dB时的频率(截止频率)。当c21.387时，用s/c置换H4(s)中的s并化简得,上式就是所设计的滤波器传递函数。从系统得角度而言，此滤波系统为一四阶系统，为了实现得方便，可用两个二阶系统串连构成。,close all;clear all;num=457.42den=conv(1,16.37,457.4,1,39.52,457.4)figure;freqs(num,den);h,w=
11、freqs(num,den,500);%加大点密度figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num,den);grid on;figure;step(num,den);grid on;figure;pzmap(num,den);grid on;printsys(num,den);,低通巴特沃斯滤波器设计结果校核,例：试确定一低通巴特沃斯滤波器的传递函数。要求在通带频率fc=2kHz处，衰减3db，阻带始点频率fs=4kHz处，衰减15
12、db,选N=3，查表得3阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为,当c12566 rad/s时，用s/c置换H3(s)中的s并化简得,close all;clear all;den1=1,12566;den2=1,12566,157913670;den=conv(den1,den2);num=12566*157913670;figure;freqs(num,den);h,w=freqs(num,den);figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;i
13、mpulse(num,den);grid on;figure;step(num,den);grid on;figure;pzmap(num,den);grid on;printsys(num,den);,低通巴特沃斯滤波器设计结果校核,高通、带通、带阻滤波器的设计,得到归一化低通滤波器的模型后，可以通过频率变换的方法得到实际滤波器模型。,至此，我们已经解决了巴特沃斯滤波器模型的问题。剩下的问题是如何实现所设计的滤波器。例：设计一阶巴特沃斯低通滤波器，在此基础上按给定指标设计高通、带通、带阻滤波器。,低通滤波器：截止频率fc=4kHz(c25133 rad/s)归一化低通滤波器的数学模型为低通滤
14、波器的数学模型为(fc=4kHz),高通滤波器的数学模型为(fc=4kHz),带通滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz，f0=4kHz),带阻滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz，f0=4kHz),l=12566H=3769902=473725634,close all;clear all;h1,w1=freqs(1,1,1);figure;plot(w1/2/pi,abs(h1);grid on;hlp,w2=freqs(25133,1,25133);figure;plot(w2/2/pi,abs(hlp);grid on;hhp,w3=freqs(1,0,1,2
15、5133);figure;plot(w3/2/pi,abs(hhp);grid on;hbp,w4=freqs(25133,0,1,25133,473725634);figure;plot(w4/2/pi,abs(hbp);grid on;hbs,w5=freqs(1,0,473725634,1,25133,473725634);figure;plot(w5/2/pi,abs(hbs);grid on;,各类滤波器频率特性,巴特沃斯模拟滤波器的matlab设计设计通带截止频率(wp)为1500Hz、阻带截止频率(ws)为2000Hz、通带衰减(rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为10dB
16、的低通巴特沃斯模拟滤波器，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：1.求低通巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数和固有频率。2.求巴特沃斯模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器,close all;clear all;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10;%给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=buttord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=buttap(n);%wn为增益下降至0.707时的频率num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/snum1,de
17、n1=lp2lp(num,den,wn);figure;freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1);grid on;%冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应figure;pzmap(num1,den1);grid on;%零极点分布图pr
18、intsys(num1,den1);%传递函数。,3-4 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器有两种：通带等波纹滤波器切比雪夫I型滤波器阻带等波纹滤波器切比雪夫II型滤波器从巴特沃什滤波器滤波器的幅频曲线可以看出，再通带内的误差分布是不均匀的，靠近频带边缘时误差最大。而切比雪夫I型滤波器的逼进原则是使依据通带内的误差分布均匀。其低通滤波器幅频响应的平方为：,0,c,dB,当c=1时：,切比雪夫多项式可以用递推公式产生TN(x)=2x TN-1(x)-TN-2(x)，N2当N2时的初始式为T0(x)=1，T1(x)=x(可查表)通过|H(j)|2图形可以看出一些共同点：1)在|H(j)|2=1和|H(j
19、)|21/(1+2)之间做等幅振荡，与|H(j)|2=1和|H(j)|21/(1+2)相交的点数为N；2)N为奇数时|H(j0)|2=1，N为偶数时|H(j0)|2 1/(1+2)；3)波纹振荡周期不相等；4)在过渡区和阻带区内单调下降。|H(js)|=1/A2,其中，TN()为切比雪夫N阶多项式。为限定的波纹系数。,注意截至频率定义,与构造巴特沃什滤波器传递函数一样，首先寻找Hn(s)。,可以证明，若设极点的位置位于s平面上，即sk=k+jk，则sk的分布在一椭圆上。其方程为,将=s/j代入归一化的传递函数表达式，有,可以解出2N个极点，左右平面各占N个。利用左半平面的极点构造HN(s)。,
20、j,一般情况下，在设计切比雪夫滤波器时应给出通带纹波系数、阻带衰减1/A2和截止频率。根据所给参数，按下式得到滤波器的阶次N。,根据、N值得到归一化的切比雪夫多项式Vn(s)；构造归一化的切比雪夫滤波器传递函数；根据变换关系用给定变换公式置换传递函数中的s得到满足要求的滤波器传递函数；传递函数的物理实现；,切比雪夫低通滤波器设计举例,设计一个低通切比雪夫I型滤波器，以满足截止频率p=0.2，通带波动1dB，当r=0.3时，衰减16dB解：归一化截止频率c=p/0.2=1 s=r/0.2=0.3/0.2=1.5当=c时当=s时,查表(切比雪夫滤波器设计参数表N=4，波动1dB)见p288、p29
21、0。,根据变换关系给出的变换公式，用s/p1.59s置换传递函数中的s，最终得到满足要求的现实滤波器。,得到归一化模型,close all;clear all;num=0.245;den=6.391,3.827,3.6733,1.1798,0.275;figure;freqs(num,den);h,w=freqs(num,den,0:0.01:10);figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num,den);grid on;figu
22、re;step(num,den);grid on;figure;pzmap(num,den);grid on;printsys(num,den);,切比雪夫低通滤波器设计校核10.89波动,切比雪夫I型模拟滤波器的matlab设计设计通带截止频率(wp)为2000Hz、阻带截止频率(ws)为1500Hz、通带衰减(rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为10dB，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：1.求低通切比雪夫I型模拟滤波器的最小阶数和固有频率。2.求切比雪夫I型模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器,close all;clear al
23、l;wp=2000;ws=1500;rp=2;rs=10;%给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=cheb1ap(n,rp);num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/snum1,den1=lp2hp(num,den,wn);figure;freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%幅频特性，单
24、位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1);grid on;%冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应figure;pzmap(num1,den1);grid on;%零极点分布图printsys(num1,den1);%传递函数。,切比雪夫II型模拟滤波器的matlab设计设计通带截止频率为2000Hz、3000Hz，阻带截止频率为1600Hz、3400Hz、通带衰减(rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为20dB，并绘制幅频与
25、相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：1.求低通切比雪夫II型模拟滤波器的最小阶数和固有频率。2.求切比雪夫II型模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器,close all;clear all;wp=2000,3000;ws=1600,3400;rp=2;rs=20;%给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=cheb2ap(n,rs);num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/sbw=(wp(2)-wp(1)*2*pi;ce
26、nt=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi;num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw);figure;freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1);grid on;%冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应figu
27、re;pzmap(num1,den1);grid on;%零极点分布图printsys(num1,den1);%传递函数。,椭圆滤波器的通带和阻带均呈现出等波动响应，对于给定的指标，它们可使N最小(换言之，给定阶数N，使过渡带最陡)，从这个意义上说，椭圆滤波器是最优滤波器。其平方幅度响应为：,3-5 椭圆滤波器,归一化后椭圆低通滤波器的传递函数为,椭圆模拟滤波器的matlab设计设计通带截止频率为1600Hz、3400Hz，阻带截止频率为2000Hz、3000Hz、通带衰减(rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为20dB，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：
28、1.求低椭圆模拟滤波器的最小阶数和固有频率。2.求椭圆模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器,close all;clear all;wp=1600,3400;ws=2000,3000;rp=2;rs=20;%给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=ellipap(n,rp,rs);num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为radbw=(wp(2)-wp(1)*2*pi;cent=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi;num1,den1=lp2
29、bs(num,den,cent,bw);figure;freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1);grid on;%冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应figure;pzmap(num1,den1);grid on;%零极点分布图pri
30、ntsys(num1,den1);%传递函数。,附1：IIR模拟滤波器的Matlab设计1.IIR模拟滤波器原型设计z,p,k=buttap(n)设计n阶巴特沃斯模拟滤波器原型。z,p,k=cheb1ap(n,rp)设计n阶在通带内最大衰减不大于rp分贝的切比雪夫I型模拟滤波器原型。z,p,k=cheb2ap(n,rs)设计n阶在阻带内最小衰减不小于rs分贝的切比雪夫II型模拟滤波器原型。z,p,k=ellipap(n,rp,rs)设计n阶在通带内最大衰减不大于rp分贝且在阻带内最小衰减不小于rs分贝的椭圆模拟滤波器原型。,2.IIR模拟/数字滤波器阶数的确定设计指标：通带截止频率wp、阻带截
31、止频率ws、通带内最大衰减不大于rp(分贝)、阻带内最小衰减不小于rs(分贝)来确定对应模拟滤波器的最小阶数n。s表示模拟滤波器设计n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参数下巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率参数wn。n,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参数下切比雪夫I型模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率wn。n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参数下切比雪夫II型模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率wn。n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参
32、数下椭圆模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率wn。,3.IIR模拟滤波器原型到现实模拟滤波器转换num1,den1=lp2lp(num,den,wo)将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为截止频率为wo(求阶时得到的固有频率wn)的模拟低通滤波器的传递函数模型。num1,den1=lp2hp(num,den,wo)将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为截止频率为wo(求阶时得到的固有频率wn)的模拟高通滤波器的传递函数模型。num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw)将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为中心频率为cent、带宽为bw的模拟带通滤波器的传递函数模型。
33、Cent=sqrt(wp1*wp2)num1,den1=lp2bs(num,den,cent,bw)将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为中心频率为cent、带宽为bw的模拟带阻滤波器的传递函数模型。Cent=sqrt(wp1*wp2),4.模拟滤波器性能的观察与分析h,w=freqs(num,den,n)显示由分子多项式系数向量num和分母多项式系数向量den构成的模拟滤波器传递函数频率特性，频率范围自动确定。如果省略n，函数自动选择200个频率点。如果选择n，函数根据选择的频率点数在自动确定的频率范围内计算、显示模拟滤波器传递函数的频率特性。n越大，计算越精确，曲线越平滑。h,w=fre
34、qs(num,den,w0)频率范围由向量w0指定(如用形如w0=ws:s:we的命令生成)，单位为弧度/秒。alfa=angle(h)得到相频特性向量alfa，单位为弧度。向量h为模拟滤波器频率特性。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数字滤波器。alfa_u=unwrap(alfa)得到解缠绕后的相频特性向量alfa_u，单位为弧度。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数字滤波器。y,t0=impulse(num,den,t)返回冲激响应向量y和时间向量t0。,5.IIR模拟滤波器的直接设计num,den=butter(n,wp,s)设计n阶低通或2n阶带通巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型
35、。num,den=butter(n,wp,high,s)设计n阶高通巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=butter(n,ws,stop,s)设计2n阶带阻巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,wp,s)设计n阶低通或2n阶带通切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,wp,high,s)设计n阶高通切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,ws,stop,s)设计2n阶带阻切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。,num,den=cheby2(n,r,wp,s
36、)设计n阶低通或2n阶带通切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby2(n,r,wp,high,s)设计n阶高通切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby2(n,r,ws,stop,s)设计2n阶带阻切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n,rp,rs,wp,s)设计n阶低通或2n阶带通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n,rp,rs,wp,high,s)设计n阶高通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n,rp,rs,ws,stop,s)设计2n阶带阻
37、椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。,在matlab中，所谓固有频率截止频率(n)对不同的滤波器而言，含义不同。对巴特沃斯滤波器而言，截止频率指的是通带增益下降3分贝时的频率。对切比雪夫I型滤波器而言，截止频率指的是通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。对切比雪夫II型滤波器而言，截止频率指的是阻带增益进入过渡带上升至等于给定的阻带最小衰减值时的频率。对椭圆滤波器而言，截止频率指的是通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。注：使用matlab设计带通、带阻滤波器时有频率的偏移。,3-6 三类滤波器的比较在同样的通带衰减、过渡带宽和阻带衰减指标下，三种滤波器所
38、需要的阶数为：巴特沃斯滤波器阶数最高；切比雪夫滤波器次之；椭圆滤波器阶数最低。因此，用椭圆滤波器使用的元器件最少，切比雪夫滤波器次之，巴特沃斯滤波器使用的元器件最多。从相频特性而言，巴特沃斯滤波器线性度最好，切比雪夫滤波器次之，椭圆滤波器最差。例：设计通带截止频率(wp)为1500Hz、阻带截止频率(ws)为2000Hz、通带衰减(rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为10dB的低通模拟滤波器。比较各类滤波器的设计结果。,close all;clear all;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10;%给定参数。截止频率单位为Hz。n1,wn1=buttord(2*pi*wp
39、,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=buttap(n1);%wn为增益下降至0.707时的频率num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/snum1,den1=lp2lp(num,den,wn1);h,w=freqs(num1,den1);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10;%
40、给定参数。截止频率单位为Hz。n2,wn2=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s);z,p,k=cheb1ap(n2,rp);%wn为通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/snum2,den2=lp2lp(num,den,wn2);h,w=freqs(num2,den2);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*36
41、0/2/pi);grid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10;%给定参数。截止频率单位为Hz。n3,wn3=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s);z,p,k=cheb2ap(n3,rs);%wn为阻带增益进入过渡带上升至等于给定的阻带最小衰减值时的频率。num,den=zp2tf(z,p,k);%wn称为固有频率单位为rad/snum3,den3=lp2lp(num,den,wn3);h,w=freqs(num3,den3);%幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴
42、坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10;%给定参数。截止频率单位为Hz。n4,wn4=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s)%频率参数的单位为rad/sz,p,k=ellipap(n4,rp,rs);num,den=zp2tf(z,p,k);%wn为通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。num4,den4=lp2lp(num,den,wn4);h,w=freqs(num4,den4);%幅频特性和相频特性,w的单位
43、为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;,附2：无源模拟滤波器的物理实现,根据对滤波器的了解，可以得出一个结论：只要系统输出信号的频谱与输入信号的频谱不一致频率成分发生了变化(某些频率成分得到加强、某些频率成分被削弱甚至阻断)，我们就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。手机、收音机、电视机、雷达。换言之，只要系统包含有零、极点，就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。对于无源元件构成的电路滤波器系统(元件本身并不释放额外的能
44、量)而言，常见的是R、L、C电路。如何根据给定的模型用R、L、C电路构造滤波器就是我们要解决的问题。,根据我们对系统的知识：任何一个复杂系统都可以由若干个简单系统组合而成简单系统(一阶、二阶系统)的串并联的组合，写成下面的形式：,无源系统的可实现条件网络函数(传递函数)可以写出多种多样的形式，但并不是每一种形式都可以实现。,例如：某二端网络的阻抗函数如右式。将其改写为,若某二端传递函数为阻抗函数如右式。将其改写为,显然，该系统应是由1F电容与-1电阻串联组成，由于负电阻不是耗能元件而是含源部件，因此所给定的传递函数用无源元件是无法实现的。,U(s),I(s),二端无源网络函数可物理实现的条件：
45、其传递函数必须是具有正的、实系数的s的有理多项式。除此而外，还要求H(s)在j轴上的极点是单极点并具有正的实数留数；分子多项式比分母多项式的次数最多低1次；对所有的0，H(j)的实部大于0。二端无源网络的综合所谓二端无源网络的综合就是用R、L、C无源元件实现阻抗函数或导纳函数1、RC综合将网络的阻抗函数Z(s)分解成由一系列RC并联电路为子系统Zi(s)的串接形式，则有,注意：分母是导纳的并联,已知网络的阻抗函数为求其极点，用待定系数法分解系统的阻抗函数。注意：传递函数中的所描述的元件参数均以国际单位计量。(欧姆)、H(亨)、F(法拉),R1,R2,Rm,于是可得,2、RL综合将网络导纳函数Y
46、(s)分解成由一系列RL串联电路为子系统Yi(s)的并接形式，则有,于是可得,已知网络的导纳函数为求其极点，用待定系数法分解系统的导纳函数。,3、LC综合一个系统仅由电抗元件L、C构成称为LC综合。串接形式,并接形式,已知系统的阻抗函数为求其两种实现。,二端网络的输入、输出均在同一端对上，如果输入输出在不同端对且在系统内部不包含有源器件，则称为无源四端网络。四端网络共有四种传递函数：输出电压/输入电流转移阻抗函数 输出电流/输入电压转移导纳函数 输出电压/输入电压电压传输函数 输出电流/输入电流电流传输函数无源四端网络的可实现条件系统应为稳定系统：H(s)是一实系数有理函数且分母多项式B(s)
47、是一霍尔维茨多项式；H(s)的极点均位于s平面的左半平面，不能在j轴上；H(s)的零点可位于s平面的任何位置。,四端无源网络(二端口网络)的综合,设对任意给定四端网络函数H(s)=k0/p(s)+q(s)而言，可以通过p(s)/q(s)或q(s)/p(s)，运用辗转相除法将其展成连分式表示形式。,设给定传递函数,阻抗(电感),导纳(电容),将H(s)看成阻抗函数,辗转相除图示,辗转相除：本次除数成为下一次的被除数；本次余数成为下一次的除数。,可以发现此转移导纳函数H(s)与设定的传递函数是一致的。换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求得电压传输函数,(a)式的二端网络结构
48、应为,列出电路的网孔方程,Y2,Z3,Z1,(b)式的二端网络结构应为,同理，列出节点电压方程，可以求出转移阻抗函数。,可以发现此转移阻抗函数H(s)与设定的传递函数是一致的。,换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求取电压转移函数前极给出的是电压信号，则需要将其转换为电流信号，稍复杂一些。若展开式的为(a)式，H(s)为转移导纳(使用更方便一些)；若展开式的为(b)式，H(s)为转移阻抗。,如 果,Z3,Z3,Y2,Y4,Y4,Y4,无源模拟滤波器的实现,步骤：根据给定工程需要的参数，确定滤波器的类型构造归一化滤波器(截止频率c=1 rad/s)，写出其数学模型；运用辗转
49、除法构造电路构成形式；查表、计算求得实际电路参数(频率、参数去归一化)。当电路形式确定以后，我们便不关心滤波器的模型了。无源模拟滤波器有一套规范的设计方法和表格。当归一化滤波器设计出来后，可通过标准的计算方法求得实际电路参数。,选N=3，查表得3阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数,例：试确定一巴特沃斯低通滤波器的传递函数。要求在通带频率c=105 rad/s处，衰减3db，阻带始点频率s=4105 rad/s处，衰减35db；负载电阻R0=103。,由给定电压传输函数确定出电路形式是有条件的：根据工程需求得到的H3(s)模型是经过频率归一化后的滤波器模型(c1 rad/s时的滤波器模型)
50、；电路参数也是经过参数归一化后的参数；该模型是当负载电阻为1时的模型；去归一化处理：计算基本参数,1/2H,3/2H,4/3F,所有这些都需要转化成实际滤波器参数。,Z1,Y2,Z3,电流源：,电压源：,设计一四阶巴特沃斯低通滤波器，截止频率fc=4kHz，负载电阻R0=150，求实际滤波电路及元件参数。查表：(Rs为电源内阻),实际设计一个,高通模拟滤波器的实现,如前所述，当设计出归一化低通滤波器数学模型后，可以通过频率变换的方法得到高通、带通、带阻滤波器的数学模型。同理，当得到一个低通滤波器的物理实现后，也可以通过参数的变换得到高通、带通、带阻滤波器的物理实现。设截止频率为c的低通滤波器的
