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1、第二十一章 曲线积分与曲面积分,背景：前面，求几何体的质量,1.第一型曲线曲、面积分,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度,1.第一型曲线积分与曲面积分,我们的问题是,求其质量,为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B,密度函数,在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.,从A至B依次插入分点,它将曲线L分为,段.记第,段弧长为,在第,段 上任取一点,则第,弧段的质量近似于,从而L 的质量就近似于,当,时,上述和式的极限就是L的质量,这种定义在曲线L的和式的极限,就称为,在L 的第一型曲线积分.,如何,又设,设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 L上.L的两端点为A,B.,
2、依次用分点,将L分为,小段弧也记为,，任取,，作和式,小段，每小段的弧长记为,，不妨将第,若当,时上述和式极限存在，,则称此,极限为,在曲线L上的第一类曲线积分，,记为,.总的来说,就是,定义 21.1,设L 为光滑曲线,在L上连续.则,定理21.1,在L上的第一型曲线积,分存在,且,(1),第一型曲线积分的性质,(2),(3),(4),例1,设L 是椭圆 在第一象限部分，,求.,解：设,例2,计算，其中L为球面,被平面 所截得的圆周.,解：,设 S是空间光滑曲面,义在 S上.对于D的任意分法为,任取,，作和式,若当,时,上述和式极限存在，,则称此,极限为,在曲线S上的第一类曲面积分，,记为,
3、定义 21.2,相应得到S的分法,如何计算？,，f 在S上连续，则,定理 S：,，是光滑曲面，是有界闭区域,的第一型曲面积分存在，且,其中,当,时,说明,1）公式的记忆：“代进去”,2）S的方程为,或,时公式如何,3）当,时，为曲面S的面积公式,4)当光滑曲面S由参数方程：,时面积元素,这时,5）,当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分,例4,计算曲面积分，其中S为球面,在平面,解：,之上的部分.,则,例5.,计算,其中,解：,2.第二型曲线积分与曲面积分,1.变力作功与第二型曲线积分,定义21.3 设函数,定义在空间光滑曲线弧L上,L的两端点,为A,B.从A,B给,一个分
4、法:,其中,记,的弧长为,任取,作和,式,若当,时,的极限存在,则称该极限为函数 沿有向曲线,L对,的第二型曲线积分,记为,或,如果在上述求和时,分别用,或,代替,便得到,沿L对,或对,的第二型曲线积分:,或,定理21.3 设函数,定义在空间光滑曲线弧,上的连续函数，,对应于A，,，且有,对应于B，且 自身不相交，则,函数 沿有向曲线,L,的第二型,曲线积分,类似地有，,例1.计算,其中,解:(1),则,(1),是上半圆周,(2),是上半圆周,参数方程：,例2.求在力,作用下，质点由A到B所做的功,解:(1),(1),是螺旋线,(2),是直线段,(2),小结,特别的,当,设L 为光滑曲线,设有
5、空间的曲线段L，密度函数为，求其质量,在L上连续.则,特别 当L 为平面光滑曲线,2.定理,1.第一型曲线积分,习题,1.设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,提示:分段积分,2.为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:如图所示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,3.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,4.有一半圆弧,其线密度,5.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,补充题,例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,解:建立坐标系如图,则,例2.计算半径为R,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解:,作业,P376 1题(3,4,6)P377 3题P377 4题(1,3),
