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1、0-3 卷积 convolution二、定义,若f(x)与h(x)有界且可积,定义,*:卷积符号,g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.,g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.,二维函数的卷积:,0-3 卷积 convolution三、计算方法-几何作图法,练习:计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t画出 二个 rect(t),2.将rect(t)折叠后不变;,3.将一个rect(-t)移位至给定的x,rect-(t-x)=rect(t-x);,4.二者相乘;乘积曲线
2、下面积的值 即为g(x).,|x|1;g(x)=0-1 x 0;g(x)=1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1;g(x)=11/2-(x-1/2)=1-x,卷积通常具有(1)加宽(2)平滑 的作用,0-3 卷积 convolution四、性质,1.卷积满足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x)=h(x)*f(x),推论:卷积是线性运算 Linearity av(x)+bw(x)*h(x)=av(x)*h(x)+bw(x)*f(x),2.卷积满足分配律 Distributive Propertyv(x)+w(x)*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*f(x
3、),3.卷积满足结合律 Associative Property v(x)*w(x)*h(x)=v(x)*h(x)*w(x)=v(x)*w(x)*h(x),0-3 卷积 convolution四、性质(续),4.卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x)=g(x),则 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0),5.卷积的缩放性质 Scaling 若 f(x)*h(x)=g(x),则,0-3 卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与d(x)卷积后不变,根据 1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性
4、质,有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f(x)*d(x-x0)=f(x-x0),f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.,=,*,利用卷积的位移不变性可得:,练习,1.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.,练习,2.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,练习:0-10(透过率=输出/输入),*,=,t(x,y),d(x+d/2)+d(x-d/2),=,*,p 位相板:输出=输入 exp(jp),即:
5、透过率=exp(jp)=-1,d(x+d/2-d(x-d/2),若右边园孔上加p 位相板,则,利用卷积性质求卷积的例子练习0-11：用图解法求图示两个函数的卷积f(x)*h(x),若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成 tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质,*,=,？,练习 0-12,若f(x)*h(x)=g(x),证明(1)f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)(2)h(x)*f(x)=g(x)(3),0-4 相关 correlation一、互相关 cross correlation,考虑两个复函数f(x)与g
6、(x),定义：,作变量替换x+x=x,则,(1)和(2)两个定义式是完全等价的.,互相关是两个函数间存在相似性的量度.,0-4 相关 correlation一、互相关 cross correlation(续)与卷积的关系,由相关与卷积定义：,1.当且仅当g*(-x)=g(x)g(x)实部是偶函数，虚部为奇函数,即 厄密函数,相关才和卷积相同.,由(3)式直接推论得:,2.互相关不满足交换律rfg(x)=f(x)g(x)g(x)f(x)=rgf(x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.,0-4 相关 correlation二、自相关 auto-correlation,或:,复
7、函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数,当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关,定义为,0-4 相关 correlation二、自相关 auto-correlation 重要性质,由(3)式:,若f(x)是实偶函数,则:rff(x)=f(x)*f(x),其自相关就是自卷积,对于非零复函数f(x),rff(0)0 为实值|rff(x)|rff(0),证明:利用施瓦兹不等式（阅读：吕乃光傅里叶光学 P18-19）,作业,0-13.证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即：rff(x，y)=rff(-x，-y)0-14.已知函数 f(
8、x)=rect(x+2)+rect(x-2)求函数f(x)的自相关，并画出图形。,第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二维傅里叶变换三角傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开,三角傅里叶展开的例子,周期为t=1的方波函数,三角傅里叶展开的例子,一个缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率函数.,可以看出，随着n的增大，fn(x)逐渐逼近于f(x),1-2 二维傅里叶变换指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函
9、数 g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,函数(满足狄氏条件)具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t相邻频率间隔:1/t,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,由于t 分立的n级谐波频率 n/t f,f:连续的频率变量 相邻频率间隔:1/t 0,写作df,求和积分,1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,
