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1、数学建模知识的简介,1.数模竞赛的起源历史及参赛规则简介2.数学建模的定义3.数学建模竞赛与纯数学竞赛区别4.学习数学建模的目的5.数学模型及数学建模的步骤6.全国大学生数学建模竞赛应注意的问题7.数学建模应用,内容简介,一、数模竞赛的起源历史及参赛规则简介,数模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。我国大学生数学建模竞赛是由教育部高教司和中国工业与数学学会主办
2、、面向全国高等院校的、每年一届的通讯竞赛。其宗旨是：创新意 识、团队精神、重在参与、公平竞争。,1992载在中国创办，自从创办以来，得到了教育部高教司和中国工业与应用数学协会的得力支持和关心，呈现出迅速的发展发展势头，就2003年来说，报名阶段须然受到“非典”影响，但是全国30个省（市、自治区）及香港的637所院校就有5406队参赛，在职业技术学院增加更快，参赛高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所。可以说：数学建模已经成为全国高校规模最大课外科技活动。,竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训。赛题来源于实际问题。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文
3、，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。,数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。,他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。这项赛事自诞生起
4、就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。1992年起我国开始举办自己的大学生数学建模竞赛，并成为国家教育部组织的全国大学生四项学科竞赛之一,二、数学建模的定义,数学建模:是指对现实世界的一特定对象,为了某特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。,一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：,数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
5、,例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代辅予更为重要的意义.,三、数学建模竞赛与纯数学竞赛区别,数学建模竞赛名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识，但
6、也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具体的学科，领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。选手们不只是要有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面的综合知识，也比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。,在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点也就是不纯，综合就是不纯。纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若
7、干年来我国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。试题都是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器)。考题都有标准答案。,当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的答案给出分数，按分数高低来判定优劣。尽管也要对参赛的团
8、体(代表一个国家，地区或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜主要靠每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数学专门人才，起了很大的作用。,模型可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的。既然是仿造，就不是真的，只能是假冒，但不能是伪劣，必须真实地反映所模仿的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看
9、起像飞机就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞机有相同之处。但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言(可能包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。,这种模仿当然是近似的，但又要尽可能的逼真。实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可
10、以用数学工具，数学方法去解答。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，,进行大量计算。这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而计算机的出现和迅速发展，给用数学模型解决
11、实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。如果数学模型建立的不好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。,因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的答案一定还有改进的余地，
12、还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段落，待将来有新的情况和要求后再作该进。,四、学习数学建模的目的,(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。,五、数学模型及数学建模的步骤,数学模型（MathematcaI Modelling）：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言(符号、式子与图象)模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特
13、定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。,数学建模的步骤,(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具)(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。并利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作
14、出进一步的简化或假设。为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。,(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。,六、全国大学生数学建模竞赛应注意的问题,首先，赛题来自于哪个实际领地的确难以预料，但绝不会过于“专”，它毕竟是经过简化、加工的。大部分赛题仅凭意识便能理解
15、题意，少数赛题的实际背景可能生疏，只需要查阅一些资料，便可以理解题意。其次，所有的赛题当然要用到数学知识，但一定不会过于高深。用得较多的有运筹学、概率与统计、计算方法、离散数学、微分方程等方面的一部分理论和方法，这些内容在赛前培训已学过一些，真的用到了，总知道在哪些资料中查找。,(1)心里要有“底”,在两个赛题中选择做哪一个不能久议不决，因为你们只有三天时间，一旦选定了，就不要再犹豫，更不要反复。选定了赛题之后，在讨论建模思路和求解方法时会有争论，但不能无休止地 争论，而应学会妥协。方案定下来后，全队要齐心协力地去做。,(2)当断即断,“拿到题目就有思路，做起来一帆风顺”，哪有如此轻松的事？参
16、加竞赛可以说是“自讨苦吃，以苦为乐”，竞赛三天中所经受的磨炼一定会终生难忘，并成为自己的一份精神财富。好多同学赛后说：“参赛会后悔三天，而不参赛则遗憾一生。”做“撞到枪口上”的赛题，不一定比“外行”强。如学机械的队员做机械方面的赛题，学投资的队员做投资方面的赛题，学统计的队员做统计方面的赛题，都有可能“聪明反被聪明误”，这些情况在陕西赛区和全国赛区都曾发生过。,(3)对困难要有足够的心理准备,首先，完成建模赛题，当然要有创造性，而在创造性方面是没有顶峰的，个队都应竭尽全力。以1994B锁具装箱与销售为例，各赛区送交全国的答卷，绝大多数都达到甚至超过了全国组委会提供的参考解答要求，于是评卷组决定
17、，凡未达到解答要求的或文字表述很差的答卷立即淘汰，这样就刷下来近1/3，对余下的答卷又决定，必须超过参考解答要求，才能考虑是否给一等奖，只有给出不能互开锁具最大数的论证，或者对锁具装箱销售问题有更深入、更符合实际讨论的答卷才能评为全国一等奖。因此，各队一定要在“更好”二字上狠下工夫。,(4)没有最好，只有更好,其次，每年全国评出的优秀答卷几乎都有不足之处，甚至有错误。有明显错误的答卷竟然也是优秀，其实并不奇怪，因为答卷的优秀与否是相对而言的。就看你这个队的答卷在所有做同一个赛题的总体中处在什么档次了。第三，一些赛题可以说是“无止境的”。如1999B钻井布局的问题三，就连获得“创维杯”的那个队（
18、大连理工大学）也未能得出最终的结论。这道赛题的命题评阅人也指出：“它涉及较多关于整点分布的性质，值得深入研究。”,拿到赛题后先别着急想“这道题怎么做”，而应当先弄明白“这道题要我们做什么”。一道赛题通常包括背景、问题和数据三部分，对前两部分要仔细推敲，弄清楚要解决什么样的实际问题，对数据也要弄明白它的实际含义是什么，否则就有可能偏离原题，如果还要做下去，那就没有意义了。做题时，先别急于寻找求解的数学方法，而应把注意力首先放在建立数学模型上，一定要抓住实际问题的主要因素。如2000B钢管的订购和运输是一道离散优化问题，其重点显然是模型的分析和建立，题目中三个问题所涉及的购运计划、总费用以及灵敏度
19、分析等都是通过对模型的求解和讨论才能知道的。然而陕西赛区有些队并未给出明确的模型，只是用“凑”的办法，一段一段给出数字结果，尽管在大体上还是合理的，但这种方法没有一般性，它根本不是数学建模的正确思路。,(5)首要任务是把问题吃透,(6)动脑筋和用电脑的关系,数学建模离不开计算机和软件，但是在竞赛中已经出现了一种不良现象，应当引起注意，即不是把工夫主要下在动脑筋上，而是过分地依赖电脑，确切地说就是削弱了数学分析能力，过分地依赖高级软件。一个优秀的参赛队应当是在充分动脑筋的基础上，恰当地使用计算机和软件，要知道，计算机和软件是让聪明人更加能干的工具，而一份优秀的答卷总该有点数学水平。,(7)正确对
20、待数字结果,大多数的情形是数字结果不可能绝对准确，只要合理就行，但也不能太离谱。如1996A最优捕鱼策略的两个问题都有总的捕捞量，较为准确的答案是问题一：年38.87万吨；问题二：年160.5万吨。而陕西赛区一些队答的是问题一：年万吨；问题二：年万吨。有时数字结果的准确程度会影响到答卷的排序，有时数字结果是唯一的，一丝一毫都不能差。在对待数字结果方面的教训是：设计的算法要有一定的普适性，力求严谨，而不要过分拘泥于赛题所给的具体数据。对数字结果一定要仔细检查。在合理的前提下应力求准确性高一些。即使数字结果绝对准确，也不可高枕无忧，还应检查算法有无疏漏。,(8)“面向实际”的要求应当贯彻始,在提出
21、假设、建立模型时，似乎不应忽略“面向实际”的要求，但在模型的检验、评价、改进等部分就不一定了。首先，不要过分拘泥于赛题的文字叙述，而要牢记答卷的基本要求。如2001A血管的三维重建在提出问题时这样叙述：“试计算管道的中轴线与半径，给出具体算法，并绘制中轴线在各坐标平面的投影图。”陕西赛区做此题的75个队中，有相当多的队答非所问，这有什么不妥呢？首先，赛题的题目是“血管的三维重建”，既然你已经求出了管道的中轴线和半径，为什么不重建管道壁？其次，也是更为重要的是，即使已经重建了管道壁，为什么不进行检验呢？因为对这道赛题而言，只有进行了检验，才能对所建的模型给出恰当的评价，并找出改进的方向。,其次，
22、答卷切忌“虎头蛇尾”。如1995B天车与冶炼炉的作业调度题目要求“提出该车间把钢产量提高到年产300万吨的建议”，本来是让参赛者在本队模型算法的基础上提出改进管理调度，挖掘生产潜力的具体建议。让人感到意外的是，有的队竟然提出“再添一座甚至几座冶炼炉！”他们是否知道一座大型转炉连同配套设备需要数千万乃至上亿元的投资！提出这种建议的队纯粹是脱离实际。,(9)数学的发展趋势必然会反映到赛题中，并增加赛题的挑战性,近些年，国际上数学发展的趋势包括了离散数学的作用不断扩大、对非线性问题的关注不断增长、概率统计的作用不断扩大、大规模科学计算进一步发展等。反映到CUMCM的赛题中，就是连续性问题很少，优化问题大多数都是非线性的，近几年每年至少有一个随机型问题，计算量越来越大，一个队用两台电脑还忙不过来的现象已屡见不鲜。数学这门古老的学科在与一些年轻的学科如图像处理、图形学、计算机科学的交叉结合中，有力地推动了许多新生长点的涌现（2001A所涉及的“序列图像的计算机三维重建”便是这种生长点之一）。,这种交叉过程也推动了数学自身的发展，例如等径管道三维重建的许多方法就与数学中的等距线、等距面、包络面、扫擦曲面等概念紧密相连。反映数学发展这一趋势的2001A题不仅颇具新意，而且这道赛题所表明的动向值得各参赛院校注意。,
