数学归纳法要点梳理归纳法由一系列有限的特殊事例.ppt

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1、13.5 数学归纳法要点梳理1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,2.数学归纳法(1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的 命题集合，如果证明起始命题P1（或P0)成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1 也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立.(2)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题 成立.(归纳递推）假设(kn0,kN+)时命题 成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数

2、n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项 为()A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,C,2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 条时，第一 步检验第一个值n0等于()A.1 B.2 C.3 D.0 解析 边数最少的凸n边形是三角形.,C,3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都

3、成立 解析 归纳奠基是：n=2成立.归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立.p（n）对所有正偶数n都成立.,B,4.某个命题与自然数n有关，若n=k(kN+)时命题 成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得()A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立 解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当 n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有 n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成 立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=

4、5时不 成立”“n=4时不成立”.,C,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当 n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1 B.（k+1）2 C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2 解析 当n=k时，左边=1+2+3+k2，当n=k+1时，左边=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2，当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.,C,题型一 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明:对任意的nN+,用数学归纳法证明的步骤为：归纳 奠基：验证当n=1时结论成立；归纳递推：假 设当n=k（kN+）时

5、成立，推出当n=k+1时结论 也成立.,题型分类 深度剖析,证明 所以等式成立.(2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN+等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.,知能迁移1 用数学归纳法证明：证明（1）当n=1时，等式左边 等式右边 所以等式成立.（2）假设n=k（kN+）时等式成立，那么当n=k+1时，,即n=k+1时等式成立.由（

6、1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1(nN+）能被a2+a+1整除.解（1）当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假设n=k(kN+)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,验证n=1时命题是否成立,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题成立,得结论,则当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(

7、a+1)2k-1,由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1时命题也成立，对任意nN+原命题成立.证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.,知能迁移2 求证：（3n+1）7n-1(nN+)能被9 整除.证明(1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假设n=k(kN+)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1时：3(k+1)+17k+1-1

8、=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k.以上三项均能被9整除.则由（1）（2）可知，命题对任意nN+都成立.,题型三 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然 数，不等式 均成立.应注意到题目条件，第一步应验证 n=2时不等式成立.证明（1）当n=2时，左边 左边右边，不等式成立.（2）假设n=k(k2,且kN+)时不等式成立，,则当n=k+1时，当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.,在由n=k到n=k+1的推证过程中，应

9、用放缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证明不等式问题时，从n=k到n=k+1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,知能迁移3 已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0，1上连续，从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin 11.,故当n=k+1时，结论成立.由()()可知，0an1对一切正整数都成立.又因为0an1时，an+1-an=an-sin an-an=-sin an0,所以an+1an.综上所述,0an+1an1.（2）设函数g(x)=sin x-x+由（1）知，当0 x1时

10、，sin xx.从而g(x)=,所以g(x)在（0，1）上是增函数.又g(x)在0，1上连续，且g(0)=0，所以当00成立.于是g(an)0,即,题型四 归纳、猜想、证明（12分）已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前 n项和为Tn，且（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较 与 Sn+1的大小，并说明理由.(1)由a2、a5是方程的根，求出an，再 由 求出bn.(2)先猜想 与Sn+1的大小关系，再用数学归纳 法证明.,解 又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.,5分,6分,下面用数学归纳

11、法证明：当n=4时，已证.,9分,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,11分,12分,（1）归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律.（2）数列是定义在N+上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决.,知能迁移4 如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0y1y2yn）是曲线C：y2=3x（y0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，

12、2，3，n）在x轴的正半轴上，且Ai-1AiPi是 正三角形（A0是坐标原点）.(1)写出a1、a2、a3；(2)求出点An（an，0）（nN+）的横坐标an关于 n的表达式并证明.,解（1）a1=2,a2=6,a3=12.(2)依题意，得即(an-an-1)2=2(an-1+an).由（1）可猜想：an=n(n+1)(nN+).下面用数学归纳法予以证明：当n=1时，命题显然成立；假设当n=k(kN+)时命题成立,即有an=k(k+1),则当n=k+1时，由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1,即(ak+1)2-2(k2+k

13、+1)ak+1+k(k-1)（k1）（k+2）=0，解之得，ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)ak不合题意,舍去)，即当n=k+1时，命题成立.由知，命题成立.,思想方法 感悟提高方法与技巧1.利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行 严格的证明.2.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式 问题.3.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等 式问题.4.利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时 常常利用凑数、凑多项式等恒等变形.5.利用数学归纳法可以证明几何问题.,失误与防范1.数学归纳法仅适应于与正整数有关的数学命题.2.严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是 对初始

14、值的验证不可省略，有时要取两个（或 两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是 归纳假设的基础.3.注意n=k+1时命题的正确性.4.在进行n=k+1命题证明时，一定要用n=k(kN+)时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法 不是数学归纳法.,一、选择题1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能 被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是()A.假设n=k(kN+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(kN+)，证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立 解析 A、B、C中，k+1不一定

15、表示奇数,只有D 中k为奇数，k+2为奇数.,D,定时检测,2.用数学归纳法证明“(nN+,n1)”时，由n=k(k1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是()A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析 增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.,C,3.对于不等式(nN+)，某同学用数学归纳法 的证明过程如下：（1）当n=1时，不等式成立.（2）假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即 则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正

16、确 解析 在n=k+1时，没有应用n=k时的假设,不是数 学归纳法.,D,4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9 整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析 假设当n=k时，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面 的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即 可.,A,5.证明 当n=2时，左边式子等于()A.1 B.C.D.解析 当n=2时，左边的式子为,D,6

17、.用数学归纳法证明不等式(n2,nN+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等 式左边()A.增加了一项 B.增加了两项 C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对,解析答案 C,二、填空题7.若f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推 关系式是.解析 f(k)=12+22+(2k)2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.,f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,8.用数学归纳法证明(nN,且 n1),第一步要证的不等式是.解析 n=2时，左边,

18、9.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，则第60个数对是.解析 本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+(n-1)=60,n=11时还多5对数，且这5对数和都为12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第60个数对为（5，7）.,(5,7),三、解答题10.已知数列an中，(nN+).证 明：0anan+11.证明(1)n=1时，0a1a

19、21,故结论成立.(2)假设n=k（kN+）时结论成立，即0akak+11,即0ak+1ak+21,也就是说n=k+1时，结论也成立.由(1)(2)可知，对一切nN+均有0anan+11.,11.用数学归纳法证明对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=证明（1）当n=1时，左式=12-1=0,所以等式成立.（2）假设n=k(kN+)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)那么(k+1)2-1+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2,=(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2

20、+k)所以当n=k+1时等式成立.由（1）（2）知对任意nN+等式成立.,12.在数列an、bn中，a1=2,b1=4,且an,bn，an+1成 等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列（nN+），求 a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测an,bn的通 项公式，并证明你的结论.解 由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明：当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立.,假设当n=k（kN+）时结论成立，即ak=k(k+1),bk=（k+1）2，那么当n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+1)+1,所以当n=k+1时，结论也成立.由知，an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.,返回,