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1、传染病模型 王秀莲,一、问题,在人类的生活中，一直受传染病的困绕，尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异着的传染病却悄悄向人类袭来，如20世纪80年代开始的十分险恶的爱滋病；21世纪第一个在世界范围内传播的SARS（俗称非典型肺炎）等等，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题。,研究传染病模型，不可能通过实验获取数据，而从医疗部门得到的资料也是不完全和不充分的，同时不同的传染病的传播过程各有不同的特点，所以，我们在这里只能是按照
2、机理分析的方法，按一般的传播机理建立几种简单的模型。,*机理分析法 根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.,、模型的假设,1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N不变。人群分为健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。设在t时刻它们所占总人数的比例分别为s（t）和i（t）2、每个病人在t时刻有效接触的人数为，在较短时间内，可以设为常数（成为日接触率）。3、在开始时刻病人数为,模型1（SI模型）（控制前自然传播）每个病人每天可使个健康人变为病人，所以有：,（此模型为阻滞增长 logistic）模型）,解此微分方程组得,此式中当 时，
3、说明在不进行控制的情况下，最终所有人全变为病人。同时由（1）式知，当 时，达到最大，这个时刻为,这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗部门关注的时刻。与成反比。说明的值越大，该地区的卫生水平越高，传染病高峰期的到来越迟。,模型2（SIS模型）（控制后的传播模型）有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每天治愈的病人数占病人总数的比例为（称为日治愈率）。显然，为这种传染病的平均传染期。于是模型变为：,（2）,此微分方程的解为,（3）,定义（整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数）。此时方程组（2）的第一、二式可以改写为,（4）,此时（3）式变
4、为：,当 时，由（4）可 以 看出，时，达到最大，预示着传染病高潮的到来；同时 当 时，病 人 比 例 越 来 小。可见 是一个阈值。,模型3（SIR模型）有一些传染病如天花、肝炎等治愈后具有很强的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他们已经退出了传染系统，此时，人群分为三类，健康人、病人和治愈后的移出者。设他们所占总人数的比例分别为s（t）、i（t）、r（t）。又设开始时病人数，移出者数为，于是所建立模型为：,方程（5）无法求出相应的解析解，我们利用相轨线讨论解的性质。平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为,（5）,若微分方程组,其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维驻定系统(
5、自治系统、动力系统).,一般二维驻定系统形式为,存在且唯一，则在三维空间(x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0,y0,t0).,基本思想 将空间曲线投影到平面上进 行分析.,定义：称平面(x,y)为相平面，称解曲线在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图.,x,y,t,o,t0,(x,y,t),解曲线,投影曲线相轨线,轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到,相点的运动方向由原方程确定.,使 P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0 的(x0,y0)称为方程(2)的平衡点.,在（5）式中消去，并注意到的定义，得：解得：1、可以证明极限 都存在，并且，即病人最终全部消失。,（6）,2、
6、最终未被感染的健康人数的比例满足（在（6）式中，令）：（7）该方程在内有根，即取值在内。,3、当时，达到最大4、当时，传染病会蔓延时，传染病不会蔓延，是一个阈值。于是提高阈值，减少接触数，即日接触率减小，日治愈率增大，也即提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。,5、（群体免疫和预防）当 时，传染病不会蔓延，所以除了提高卫生水平和医疗水平外，另一控制传染病蔓延的途径是降低，从而提高，即通过群体免疫，使开始时的移出者增大。,6、实际中，的值很难估计，在（7）式中求得：可以通过此式来分析传染病的蔓延过程。,7、（被传染比例的估计）令，则由（6）式得：取对数函数泰勒展开的前两项，并忽略得：即得,为该地区人口比例中超过阈值的部分，当这个值充分小时当阈值提高时，这个比例会降低。,
