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1、1,第二章 复变函数的积分,数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深.-高斯(Gauss),2,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。,重点：,难点：,1.复积分的基本定理；,2.柯西积分公式与高阶导数公式。,复合闭路定理与复积分的计算。,3,（一）积分的定义,2.1复变函数的积分,(与实函数积分相似，定义为和的极限),复平面上的线积分,4,5,关于定义的说明:,注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正,6,注意到：,积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分,(二).
2、积分的计算法,代入积分定义有：,7,积分的计算法2:参数方程法,设路径l的方程（参数方程）为:z=z(t)(t),由求导法则，dz=z(t)dt,则有,(三)性质：,(1)全路径上的积分等于各段上积分之和,设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则,8,(3)常数因子可以移到积分号外,(4)函数的和的积分等于各函数积分之和,(2)若l和l-是同线段但走向相反,则,(5)积分不等式,特别地，若在l上有，l的长记为l，则性质(5)成为,9,例1,解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t.,直线的参数方程:,在l上，,10,例2,解,积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为,11,例3,解,积分路
3、径的参数方程为,.,d,),(,1,0,1,0,为整数,径的正向圆周,为半,为中心,为以,求,n,r,z,l,z,z,z,l,n,+,-,12,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,13,定理1：单连通区域柯西定理,讨论复变函数积分值与积分路径的关系,(一)单连通区域柯西定理,2.2 柯西定理,14,连续，且,证明：,格林公式,积分值的实部:由格林公式化成面积分,15,推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。,例1,解,根据柯西定理,有,16,由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算?,（二）复连通域柯西定理,下图表示一个由边界L
4、和l1 构成的闭二连通区域B.设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.,L,l1,17,作割线把原来以围线l和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线AD与DA组成的新边界的单连通区域。则,由柯西定理,或,l与l1方向相反，但与 l-1方向相同。,18,此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.-闭路变形原理,19,其中C取关于区域B的正向，或写为：,20,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,21,例3,解,22,由复合闭路定理,此结论非常重要,闭曲线不必是圆,
5、a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.,23,（五）柯西定理小结,固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分,单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。,24,思考题,答:,即为一元实函数的定积分.,25,答:,(1)注意定理的条件“单连通域”.,(2)注意定理的不能反过来用.,思考题,应用柯西定理应注意什么?,26,2.3.,本讲作业,1,d,z,z,-1,(1)直线段；,积分路经是,计算,(2)单位圆的上半；,(3)单位圆
6、的下半；,1,d,ez,求下列复变函数的围道积分,z,z2+5z+6,|z|=1,27,1 原函数,证:利用解析函数F(z)在区域内任意一点可导的思路证明,即用导数的定义来证.,2.3 不定积分,28,29,30,分析下列极限:,下面先由分析绝对号内函数的特性,31,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,32,2.不定积分的定义:,3.牛顿-莱布尼兹公式,33,证,根据柯西定理,证毕,说明:有了牛顿-莱布尼兹公式,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,34,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,35,例2,解,采用微积分学中的“凑微分”法处理,36,例3,采微
7、积分中“分部积分法”处理,解,37,(一)、问题的提出,2.4 柯西公式,38,如果f()在闭单连通区域B内处处解析，l为B内的边界线，为B内的任一点，那么 称为柯西积分公式,简称柯西公式,(二)、柯西积分公式,1 有界区域的单连通柯西积分公式,证明,39,由复积分性质知道根据 在 连续，则对任意小,对应于R足够小，有，又显见该积分的值与R无关这就证明了 柯西积分公式,40,关于柯西积分公式的说明:,(1)把函数在l内部任一点的值用它在边界上的积分值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析
8、函数的有力工具),(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,41,2有界区域的复连通柯西积分公式,42,如图：假设|z|,f(z)在某一闭曲线l的外部解析，则对于l外部区域中的点f(z)有,3 无界区域中的柯西积分公式,上面对柯西积分公式的讨论所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？,式中 有界。,43,证明 如图:设CR 为以O为原点，半径为R的包含任意点z的大圆周,因为函数 f(z)在闭回路的l外部解析,故在l和CR构成的复连通区域内,由复连通区域的柯西积分公式得,现分析第二个积分,由于f(z)在无限远处连续，即任给0，总找到以O为中心半径
9、为R1的圆,使得|z|R1时，|f(z)-f()|，其中f()有界。则,44,45,对于有限远点z，显然，从而有 故 成立 说明：特别地，当|z|满足 f(z)0 时，即f()=0，则有特殊形式,46,(三)高价导数,证明：由柯西积分公式,任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于B。,47,对f(z)求一阶导数,对f(z)求二阶导数,对f(z)求n阶导数,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,48,例1,解,由柯西积分公式,49,例2,解,由柯西积分公式,50,解,f()=2i(32+7+1),根据柯西积分公式知,51,52,小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.,柯西积分公式:,53,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?,思考题答案,可以.,其中积分方向应是顺时针方向.,54,补充作业：,+,-,p,=,C,z,C,z,z,e,z,z,z,r,z,C,.,d,),1,(,),2,(,;,d,),1,(,cos,),1,(,.,1,:,2,2,5,为正向圆周,其中,1.计算下列积分,55,2.4 1.2.,本讲作业,56,
