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1、数学物理方程,西北工业大学2012年10月,许和勇友谊校区 翼型、叶栅国防科技重点实验室 中楼217室Tel：,定义:主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术 科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等),例如特点:反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于 空间变量的导数之间的制约关系。范畴:连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基 本方程都属于数学物理方程的范围。,数学物理方程,“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”,力学问题,弦线振动问题,流体运动、弹性体振动、热传导、电磁作用、原子核-电子作用、化学反应,偏
2、微分方程（基本规律）,偏微分方程（基本规律）,求解数学物理方程定解问题,预测自然现象变化（气象预报等）,各种工程设计（机械强度计算等）,数学,数学物理方程,偏微分方程理论,偏微分方程理论,新课题、新方法,自然现象实际问题,历史悠久,对象、内容、方法,纯粹数学,泛函分析复变函数微分几何计算数学,多样,复杂,解决问题的工具,纯粹数学、分支,自然科学、技术科学,数学物理方程,分支,课 程 概 览,二、热传导方程（抛物型）三、调和方程（椭圆型）四、二阶方程的分类总结五、一阶偏微分方程组七、偏微分方程的数值解,一、波动方程（双曲型）,1.方程导出、定解条件2.初值问题求解3.初边值问题求解,第一章 波动
3、方程,物理背景：波的传播和弹性体振动。,1-1 一维波动方程的导出、定解条件 首先，考察下面的物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为 l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。,基本假设：1.弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。弦可以视为一条曲线，线密度为常数。2.弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。,基本规律：牛顿第二定律 F=m*a,冲量定理 Ft=m*(v1-v2),3.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与
4、张力的关系服从虎克定律。,Ft=m*a*t,用u(x,t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。,由基本假设2可知，,与1相比可以忽略不计，所以,因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关,T(x,t),T(x),（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即,由基本假设2可知，,，所以,因此，弦的张力大小与空间变量x无关，可以把弦线的张力T(x)在x轴方向的分量看成常数。,（1）任取一弦段(x,x+x)，它的弧长为,（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直 方向上的合力为：,在时间段(t,t+t)内该合力产生的冲量为：,（4）另一方面，在在时间段(
5、t,t+t)内弦段(x,x+x)的动量变化为：,（5）因此，根据冲量定理，得到：,从而有,进一步由t，x 的任意性，有,假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x,x+x)上的外力为：,它在时间段(t,t+t)内的冲量为：,于是有：,进一步由t，x 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：,二维波动方程（如薄膜振动）,三维波动方程（如电磁波、声波的传播）,弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x,t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言
6、，还需要结合实际问题附加某些特定条件。在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即 u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为,这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。,2.定解条件,对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：,要在区域,上（见右上图）求上述定解问题的解，就是,要求这样的连续函数u(x,t)，它在区域00中满足波动方程(1.19)；在x轴上的区间0,l上满足初始条件(1.20)；并在边界x=0和x=l上满
7、足边界条件(1.21)和(1.22)。,一般称形如(1.21)和(1.22)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件。,弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：,（a）设弦的一端（x=0）处于自由状态，即可以在垂直于x轴的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在边界右端的张力的垂直方向分量是,于是边界处应有,考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为,（b）弦的一端（x=l）处于固定在伸缩符合胡克定律的弹性支承上，如果支承的初始位置为（u=0），那么在端点的u值表示支承的伸长量，于是,这种边界条件称为第二类边界条件，又称诺依曼（Neumann）边界条件,数学上
8、，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为,（第三类边界条件）,偏微分方程的分类,分类依据：阶数、线性性质、齐次性。阶：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数 线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。方程（1）,（2）,（3）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。方程（4）,（5）完全非线性方程：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。方程（6）齐次性：以方程（1）为例，函数 f(x,y,z,t)与未知函 数无关（自由项），若该项恒为零，则该 方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。,3.定解问题适定性概念,解的存在性：定解
9、问题的解是否一定存在？解的唯一性：定解问题的解是否只有一个？解的稳定性：当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小的变化？定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰
10、减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。,定解问题的提法是否合适？,1-2 达朗贝尔（dAlembert）公式、波的传播,1.叠加原理,从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。,在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。,例如：若u1(x,t)是方程,的解，而u2(x,t)是方程,的解，则对于任意的常数C1、C2，函数,是方程,的解。,典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加
11、。,2.弦振动方程的达朗贝尔解法,为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：,在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题(也称柯西（Cauchy）问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.19)(1.22)由于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。,方程(2.5)中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因
12、此方程(2.5)中f(x,t)恒为零的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零的情况对应于强迫振动。,下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分别是下述初值问题,和,的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值问题(2.5)、(2.6)的解。这样求解初值问题(2.5)、(2.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(II),单独初始振动状态对振动过程的影响。,单独考虑外力因素对振动过程的影响。,首先，我们考察代表自由振动情况的初值
13、问题(I)，它可以通过自变量变换的方法求解。引如新自变量：=x-at，=x+at。利用复合函数求导的法则，有,类似地，,从而，方程(2.7)就化为，这个方程可以直接求解。把它关于积分一次，再关于积分一次，就可以得到它的通解为u(,)=F()+G()，其中，F和G是任意两个可微分的单变量函数。代回原来的自变量，方程(2.7)的通解表示为 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2.14）。,利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(2.8)来决定函数F和G，进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(2.8)，得到：,(2.16)式是一个简单的常微分方程，求解它得到,由(2.1
14、5)和(2.17)式联立求解可以得出函数F和G,把它们代入方程(2.7)的通解表达式(2.14)就得到了初值问题(I)的解,这个公式(2.19)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题(I)有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是唯一的。同时，若函数(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，(x)在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(2.19)给出的的确是初值问题(I)的解。存在性 另外，初值问题(I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。稳定性,定理2.1 设,，那么初值问题(2.7),(2.8)存在唯一的,解u(
15、x,t)，它由达朗贝尔公式(2.19)给出。,如右图所示，在t=0时，(x,0)=F(x)，它对应于初始振动状态（弦在初始时刻各点位移状态）。经过时刻t0后，(x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上，它相当于原来的图形向右平移了一段距离at0。这说明振动的波形以常速度a向右传播。因此，齐次波动方程的形如F(x-at)的解所描述的运动规律称为右传播波，同样形如G(x+at)的解称为左传播波。并且，我们知道了方程(2.5)中的常数a实际上表示了波动的传播速度。（行波法）,3.传播波,由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。
16、由此可以特别清楚地看出波动传播的性质。考察(x,t)=F(x-at)(a0)，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。,4.依赖区间、决定区域和影响区域,从达朗贝尔公式立即可以看出，初值问题(I)的解在上半平面(t0)上点(x,t)处的值u(x,t)由初始资料(x)和(x)在x轴的区间x-at，x+at上的值所唯一确定,而与(x)和(x)在该区间以外的值无关。这个区间称为点(x,t)的依赖区间。对初始轴t=0上的一个区间x1,x2，过点x1作斜率为1/a的直线x=x1+at，过点x2作斜率为-1/a的直线x=x2-at，它们和区间x1,x2一起构
17、成一个三角形区域。显然，这个三角形区域内任意一点的依赖区间都在区间x1,x2内部，因此，解在此三角形区域内部的数值完全由区间x1,x2上的初始条件决定，与该区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间x1,x2的决定区域。,另一方面，如果在初始时刻t=0，初始资料(x)和(x)的值在区间x1,x2上有变动(初始扰动)。那么，经过时间t后该扰动所影响到的范围就由不等式,所限定，而在此范围外的区域则感受不到区间x1,x2上初始影响。在(x,t)平面上，上式所表示的区域(如下图所示)称为区间x1,x2的影响区域。区间x1,x2上的初始条件只能对上述区间的影响区域中初值问题(I)的解u(x,t)产生影
18、响，而不会影响到此区域外的 u(x,t)的数值。特别地，如果区间x1,x2收缩为一点，那么就得到了点的影响区域。,在前面的讨论中，我们看到在(x,t)平面上斜率为1/a的直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。,例题：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题,为了求解此问题，我们可以设想在x=0的左侧仍然有弦存在,只是在振动过程中x=0点始终不动。问题于是转化为：如何将x0上已知的初始函数延拓为整个直线-x+上的函数，并使得用延拓后的函数作初值的柯西问题的
19、解在x=0点恒为零。,记(x)及(x)是由(x)和(x)分别延拓而得到的函数。由达朗贝尔公式，以(x)及(x)为初值的柯西问题的解为,要使U(x,t)在x=0点恒为零，就应当成立,为此只需要将(x)和(x)分别作奇延拓就可以满足上式，也就是说，令,于是将上面定义的(x)及(x)的表达式代入(2.25)式即得到问题的解,(2.26),(2.27),(2.28),5.齐次化原理,现在我们考察强迫振动情形的初值问题,为了求解此问题，我们可以利用下述的齐次化原理，把非齐次方程的求解问题转化为相应的齐次方程的问题来解决，这样就可以直接利用前面关于齐次方程的结果。,由弦振动方程的推导过程来看，自由项f(x
20、,t)=F(x,t)/表示时刻t时在x处单位质量受到的外力，而u/t表示速度。如果我们把一个时间段0,t划分成若干小的时段tj=tj+1-tj(j=1,2,l)，在每一个小的时段tj中，f(x,t)可以看作与时间无关，从而以 f(x,tj)来表示。于是在时段tj中自由项所产生的速度改变量为f(x,tj)tj。如果把这个速度改变量看作在时刻t=tj 时的初始速度，它所产生的振动可以由下面的齐次方程的初值问题描述：,将其解记为(x,t;tj,tj)，按照叠加原理，自由项f(x,t)所产生的效果可以看成无数个这种瞬时作用的叠加，这样定解问题(II)的解u(x,t)应表示为,由于(2.31)为线性方程
21、，所以(x,t;tj,tj)与tj成正比，即如果记W(x,t;)为如下齐次方程的定解问题的解,那么有(x,t;tj,tj)=tjW(x,t;tj)成立。于是定解问题(II)的解可以表示为,(2.32),于是我们可以得到如下的齐次化原理：若W(x,t;)是初值问题(2.33)的解(其中是参数)，则初值问题(II)的解可以表示为,为了写出W(x,t;)的具体表达式，在初值问题(2.33)中作变换t=t-,于是有,利用达朗贝尔公式求出上述初值问题(I)的解为,(2.34),(2.36),再代入(2.34)式就得到初值问题(II)的解,区域G为(,)平面上过点(x,t)向下作两特征线与轴所夹的三角形区
22、域，见右图。上面我们通过对物理模型的分析，应用叠加原理，得出了定解问题(II)的解的表达式。它究竟是否确实为定解问题(II)的解，还需要按照解的定义进行数学上的验证。,1-3 初边值问题的分离变量法,本节进一步考察波动方程的初边值问题，并介绍一种常用的解法分离变量法。首先考察波动方程的初边值问题：,利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题：,对于问题()我们设想先求出足够多的变量分离形式的非平凡(即不恒为零)的特解u(x,t)=X(x)T(t)，然后把这些特解叠加得到问题的最终解以下我们详细介绍如何运用这一思想求解初边值问题：,1.分离变量法,与上一节中一样，关键是求解问题()
23、，因为问题()可以运用齐次化原理归结为问题()的求解。问题()描述了两端固定的弦作自由振动的物理过程。从物理学中我们知道：弦振动发出的声音可以分解为各种不同频率的单音的叠加，对于每种单音，振动时波形均为正弦曲线，其振幅依赖于时间t，即每个单音可以表示成 的形式。这种形式的特点是：u(x,t)中变量x和t被分离出来了。,(3.5),(3.6),将u(x,t)=X(x)T(t)带入方程(3.4)，得到：,将上式分离变量，有：,在(3.8)式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能。记这个常数为-(其值待定)，就得到：,这样方程(3.8)就被分离为两个常微分方
24、程，可以通过求解这两个方程来决定X(x)和T(t)，从而得到方程(3.4)的特解X(x)T(t)。为了使此解是满足齐次边界条件的非平凡解，就必须找出方程(3.10)的满足边界条件X(0)=0，X(l)=0的非平凡解。由常微分方程理论可知，方程(3.10)的通解随0,=0以及0而不同，下面分以上三种情况讨论。,情况A 当0时，方程(3.10)的通解为,要使它满足边界条件X(0)=0和 X(l)=0，就必有,从而推知C1=C2=0。故在0的情况下不可能得到非平凡解。,(齐次线性代数方程组系数行列式不为零),情况B 当=0时，方程(3.10)的通解为,要使它满足边界条件X(0)=0和 X(l)=0，
25、X(x)也必恒为零。,情况C 当0时，方程(3.10)的通解为,要使此解满足边界条件X(0)=0，则C1=0。再由X(l)=0，可知,为了使C20，就必须有,于是可以确定的取值为,这样就找到了一族非零解：,数学上，称(3.13)右端的函数为常微分方程(3.10)满足边界条件X(0)=0和 X(l)=0的固有函数（或特征函数），而=k22/l2 称为相应的固有值或特征值。,将固有值k带入方程(3.9)中，可求得其通解为,上式中Ak，Bk 为任意待定常数。这样我们就得到了方程(3.4)满足边界条件u(0,t)=0和 u(l,t)=0的分离变量形式的特解:,现在我们设法作出这种特解的适当的线性组合，
26、以得出初边值问题()的解。也就是说，要确定出常数Ak 和Bk 使,满足初始条件,(3.14),在(3.15)式中的级数可以逐项求导时，我们得到：,结合初始条件，应有,将由(3.16)式表示的Ak，Bk 代入(3.15)式中，就得到了用级数形式表示的初边值问题()的解。,观察发现Ak 和Bkka/l分别是(x)和(x)在区间0,l上正弦展开的傅立叶级数的系数，即,前面的推导说明了初边值问题()如果有解，那么它的解可以表示为(3.15)式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，初边值问题()的解一定存在？,定理3.1：若函数(x)在求解区域内具有三阶连续偏导数，(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，
27、并且,则弦振动方程的初边值问题()的解是存在的，它可以由级数(3.15)给出，Ak和Bk 由(3.16)式确定。通常我们称(3.17)式为 相容性条件。,如果(x)和(x)不满足以上定理的条件，我们可以把(x)和(x)看成函数列,的平均收敛极限，当n很大时，因为方程和边界条件都已满足，初始条件也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问题的近似解。,2.解的物理意义,由级数(3.15)可知，初边值问题()的解是,的叠加，上式又可以写成,物理上，Nk称为波的振幅，k称为波的初相位，k称为圆频率，它只与弦本身的性质有关，因此也称为固有频率。于是(3.19)代表这样的振动波：在所考虑的弦上各点均
28、以同一频率作简谐振动；它们的相位相同，而振幅依赖于点x的位置。弦上位于xml/k（m0，1，k）处的点在振动过程中保持不动，称为节点。弦的这种振动状态叫做 驻波。,由此可见，初边值问题()的解是由一系列频率成倍增长，且相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，所以分离变量法又称为驻波法。弦所发出的声音，其音调由其振动频率决定，而声音的强度则决定于振动的振幅。弦所能发出的最低音所对应的圆频率就是其最低固有频率1 a/l，这个音称为弦的基音。其余的圆频率是1 的整数倍，称为泛音。通常弦所发出的声音即由基音和泛音叠加而成，物理上这一事实与分离变量法得到的结果是相符的。,3.非齐次方程的情形,现在讨论非齐次
29、方程的初边值问题,与前一节中非齐次波动方程初值问题的情形完全类似，此时也成立着如下的齐次化原理。若W(x,t;)是初边值问题,的解(其中是参数)，则初边值问题(II)的解可以表示为,为了写出W(x,t;)的具体表达式，在初值问题(2.28)中作变换t=t-，于是有,3.27,(3.28)与和初边值问题()属于同一类，直接利用前面分离变量法的结果我们得到：,于是根据齐次化原理，初边值问题(II)的解为,可以证明，在f(x,t)二阶连续可导，且在边界满足f(0,t)=f(l,t)=0的假设下，上面的级数确实是初边值问题(II)的解。,3.31,(3.30),(3.29),而,(3.31),4.非齐次边界条件的情形,最后讨论弦振动方程具有非齐次边界条件的初边值问题，即,假设连续性条件和边界取值条件满足,利用叠加原理，这一问题可以分解为初边值问题(I)、(II)和下面的,(3.32),(3.33),(3.34),(3.35),(3.36),(3.37),初边值问题(III)也可以归结为初边值问题(I)和(II)求解，为此只要通过未知函数的适当变换把边界条件齐次化即可。首先找到一个满足非齐次边界条件的已知函数,再作变换 V=u3-U，,所以，初边值问题(III)的解为：,(3.38),(3.39),对于新未知函数 V，很容易推知它是以下定解问题的解：,（第一章 完）,
