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1、,第4章 数学的巧妙应用 应用数学解决一些简单问题,初步偿试怎样把数学应用于解决问题的过程中,通过这些问题展示数学的奇妙作用,体会将数学用来解决各类实际问题时如何培养和发挥创造性思维能力,经常性地联想和 积累,开拓思路,更好和更灵活地应用数学去解决问题。,1.棋子颜色的变化 任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个,排成如图41所示的一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋 子的颜色会怎样变化呢?,方法1：穷举法方法2：杨辉三角形法分析：放棋子规则
2、：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白。有理数乘法：正正得正，负负得正，正负得负。二进制加法：设 黑子用+1表示，白子用-1表示。记 8颗分别为 a1,a2,a8,(ai=+1,-1),第0次：a1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8第1次：a1 a2 a2 a3 a3 a4 a7 a8 a8 a1 第2次：a1 a22 a3 a2 a32 a4 a8 a12 a2.第8次：a1 a28 a328 a456 a570 a656 a728 a88 a1,问题的推广：对任意 n 颗棋子进行讨论。,结论：至多经过8次变换，棋子的颜色全变黑。,2.椅子的稳定性 4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地
3、面上,问4条腿能否同时着地而放稳?,分析:“起伏不平”:地面连续变化.“放稳”：4条腿能否同时着地。,建立如图所示的坐标系,A,A,B,B,C,C,D,D,x,令 f(x)是AC腿到地面的距离之和g(x)是BD腿到地面的距离之和 则 f(x)g(x)=0.须证明f(x)-g(x)=0对某一个x成立。,h(x)=f(x)-g(x)连续变化1.若f(0)-g(0)=0，则此时椅子已经放稳；2.若f(0)-g(0)0，则此时椅子未放稳.将椅子转动90度，由f(x)和g(x)的定义知，f(90)=g(0),g(90)=f(0)故 f(90)-g(90)0。由h(x)=f(x)-g(x)的连续性，在0与
4、90之间必有一个x，使得f(x)-g(x)=0。即此时椅子能放稳。3.若f(0)-g(0)0，可进行类似处理。,3.七桥问题 18世纪,普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛,岛旁流过一条河的两条支流,如图，七座桥跨在河的两支流上.问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥一次并且最后回到原出发点?,抓住问题关键：将七桥图转化为下图：,此问题引出一个重要数学分支：图论,欧拉解决七桥问题是先考虑一般化问题:如果给定任意一个河道图与任意多座桥,可否判断 每座桥能否恰好走过一次呢?这归结为一笔画问题 考察一笔画的结构特征,有个起点和终点(若起点和终点重合时即为欧拉图).除起点与终点处,一笔画中出现在交点处的边
5、总是一进一出的,故交点的度数总和为偶数,由此欧拉给出一般结论:(1)连接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上,不能实现一笔画.(2)连接奇数个桥的陆地仅有两个时,则从两者任一陆地出发,可以实现一笔画而停在另一陆 地.(3)每个陆地都连接有偶数个桥时,则从任一陆地出发都能实现一笔画,而回到出发点.,4最短路径问题,设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近?,将湖想象成凸出地面的木桩，在AB间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短路径：过A作圆的切线切
6、圆于E，过B作圆的切线切圆 于F。最短路径为由线 段AE、弧EF和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，AE，弧EF，FB连接而成的连续曲线也是）。,以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。,下面证明猜想,猜测证明如下：,还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。,到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。1973年，证明了以上结果：,5.夫妻过河问题 有3对夫妻要过河,船至多可载2人,条件是任一女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外
7、的男子在一起,问如何安排这3对夫妻过河?与此相关的问题：人、狼、羊、菜渡河问题 一个摆渡人希望用一条小船把一只狼,一头羊和一篮白菜从一条河的左岸渡到右岸去,而船小只能容纳人、狼、羊、菜中的两个,决不能在无人看守的情况下,留下狼和羊在一起,羊和白菜在一起,应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去?,用向量(H,W)表示有H个男子和W个女子。0H、W3.状态向量(m,n):左岸的男、女数。可取状态:一共有10个,它们是：(0,i),(i,i),(3,i)，i=0,1,2,3其中(i,i)表示i对夫妻.运载向量(m,n)：乘船的男、女数。可取运载:(-1)k(m,n)其中：0 m+n 2,k=1,2,运
8、算：可取状态与可取运载的向量加法。于是问题归结为:由初始状态(3,3)经多少次(奇数次)可取运算才能转化为状态(0,0).经11次可取运算即可完成:,可以用图解法比较方便地解出.在HW平面坐标系中,以“”表可取状态。从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0),其转移规则为:1)第奇数次转移时需向左或下移动2格,而落在一个可取状态上.2)第偶数次转移时需向右或上移动1至2格而落在一个可取状态上.用实线表示第奇数次转移,用虚线表示第偶数次转移,图46给出了一种可实现的转移过程.,作业棋子颜色的变化 任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,排成一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋 子的颜色会怎样变化呢?,
