数据结构第5章树和二叉树.ppt

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1、树的逻辑结构树的存储结构二叉树的逻辑结构二叉树的存储结构及实现树、森林与二叉树的转换哈夫曼树,第 5 章 树和二叉树,本章的主要内容是,树的定义,树：n（n0）个结点的有限集合。当n0时，称为空树；任意一棵非空树满足以下条件：有且仅有一个特定的称为根的结点；当n1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m0）个互不相交的有限集合T1,T2,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。,5.1 树的逻辑结构,树的定义是采用递归方法,(a)一棵树结构(b)一个非树结构(c)一个非树结构,5.1 树的逻辑结构,树的定义,树的应用举例文件结构,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,结点的度：结点所

2、拥有的子树的个数。树的度：树中各结点度的最大值。,5.1 树的逻辑结构,5.1 树的逻辑结构,叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。,树的基本术语,孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,路径：如果树的结点序列n1,n2,nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1=ik），则把n1,n2,nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,祖先、子孙：在树中，如果有

3、一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。,数据结构中讨论的一般都是有序树,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,森林：m(m0)棵互不相交

4、的树的集合。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。,5.1 树的逻辑结构,树的基本术语,树结构和线性结构的比较,线性结构,树结构,无前驱,无双亲,无后继,无孩子,一个前驱,一个后继,一个双亲,多个孩子,一对一 一对多,5.1 树的逻辑结构,树的抽象数据类型定义,ADT TreeData 树是由一个根结点和若干棵子树构成，树中结点具有相同数据类型及层次关系Operation InitTree 前置条件：树不存在 输入：无 功能：初始化一棵树 输出：无 后置条件：构造一个空树,

5、5.1 树的逻辑结构,DestroyTree 前置条件：树已存在 输入：无 功能：销毁一棵树 输出：无 后置条件：释放该树占用的存储空间 Root 前置条件：树已存在 输入：无 功能：求树的根结点 输出：树的根结点的信息 后置条件：树保持不变,树的抽象数据类型定义,5.1 树的逻辑结构,Parent 前置条件：树已存在 输入：结点x 功能：求结点x的双亲 输出：结点x的双亲的信息 后置条件：树保持不变 Depth 前置条件：树已存在 输入：无 功能：求树的深度 输出：树的深度 后置条件：树保持不变,树的抽象数据类型定义,5.1 树的逻辑结构,PreOrder 前置条件：树已存在 输入：无 功能

6、：前序遍历树 输出：树的前序遍历序列 后置条件：树保持不变 PostOrder 前置条件：树已存在 输入：无 功能：后序遍历树 输出：树的后序遍历序列 后置条件：树保持不变endADT,树的抽象数据类型定义,5.1 树的逻辑结构,树的遍历操作,树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。,如何理解访问?,抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出结点的数据。,如何理解次序?,树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。,5.1 树的逻辑结构,树结构（非线性结构）线性结构。,遍历的实质?,前序遍历,树的前序遍历操作定义

7、为：若树为空，则空操作返回；否则 访问根结点；按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。,5.1 树的逻辑结构,前序遍历序列：A B D E H I F C G,后序遍历,树的后序遍历操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则 按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；访问根结点。,5.1 树的逻辑结构,后序遍历序列：D H I E F B G C A,层序遍历,树的层序遍历操作定义为：从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。,5.1 树的逻辑结构,层序遍历序列：A B C D E F G H I,5.2 树的存储结构,实现树的存储结构

8、，关键是什么?,什么是存储结构?,树中结点之间的逻辑关系是什么?,思考问题的出发点：如何表示结点的双亲和孩子,如何表示树中结点之间的逻辑关系。,数据元素以及数据元素之间的逻辑关系在存储器中的表示。,双亲表示法,基本思想：用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），数组中的一个元素对应树中的一个结点，包括结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。,5.2 树的存储结构,template struct PNode T data;/数据域 int parent;/指针域，双亲在数组中的下标;,5.2 树的存储结构,树的双亲表示法实质上是一个静态链表。,双亲表示法,下标 data parent

9、,5.2 树的存储结构,如何查找双亲结点？时间性能？,双亲表示法,5.2 树的存储结构,双亲表示法,如何查找孩子结点？时间性能？,下标 data parent,firstchild,下标 data parent,rightsib,5.2 树的存储结构,双亲表示法,如何查找兄弟结点？时间性能？,链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。,如何确定链表中的结点结构？,5.2 树的存储结构,孩子链表表示法,5.2 树的存储结构,缺点：浪费空间,A,B,C,D,E,F,G,H,I,链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。,如

10、何确定链表中的结点结构？,5.2 树的存储结构,孩子链表表示法,方案二：指针域的个数等于该结点的度,其中：data：数据域，存放该结点的数据信息；degree：度域，存放该结点的度；child1childd：指针域，指向该结点的孩子。,5.2 树的存储结构,缺点：结点结构不一致,A 2,B 3,C 2,E 1,I 0,G 0,H 0,F 0,D 0,孩子链表表示法,基本思想：把每个结点的孩子排列起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，则n个结点共有 n 个孩子链表。这 n 个单链表共有 n 个头指针，这 n 个头指针又组成了一个线性表，为了便于进行查找采用顺序存储。最后，将存放 n 个头指针的

11、数组和存放n个结点的数组结合起来，构成孩子链表的表头数组。,5.2 树的存储结构,如何确定链表中的结点结构？,将结点的所有孩子放在一起，构成线性表。,struct CTNode int child;CTNode*next;,5.2 树的存储结构,template struct CBNode T data;CTNode*firstchild;,孩子链表表示法,012345678,下标 data firstchild,A B C D E F G H I,5.2 树的存储结构,如何查找孩子结点？时间性能？,012345678,下标 data firstchild,A B C D E F G H I,

12、5.2 树的存储结构,如何查找双亲结点？时间性能？,双亲孩子表示法,5.2 树的存储结构,孩子兄弟表示法,5.2 树的存储结构,某结点的第一个孩子是惟一的某结点的右兄弟是惟一的,template struct TNode T data;TNode*firstchild,*rightsib;,5.2 树的存储结构,结点结构,data：数据域，存储该结点的数据信息；firstchild：指针域，指向该结点第一个孩子；rightsib：指针域，指向该结点的右兄弟结点。,孩子兄弟表示法,5.2 树的存储结构,孩子兄弟表示法,如何查找兄弟结点？时间性能？,5.2 树的存储结构,孩子兄弟表示法,如何查找孩

13、子结点？时间性能？,二叉树的定义,二叉树是n（n0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。,5.3 二叉树的逻辑结构,问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解决树的有关问题。,研究二叉树的意义？,二叉树的特点：,每个结点最多有两棵子树；二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。,5.3 二叉树的逻辑结构,注意：二叉树和树是两种树结构。,二叉树的基本形态,5.3 二叉树的逻辑结构,5.3 二叉树的逻辑结构,具有3个结点的树和具有3个结点的二叉树的形态,二叉树和树是两种树结构。,特殊的二叉树,斜树1.所有结点

14、都只有左子树的二叉树称为左斜树；2.所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；3.左斜树和右斜树统称为斜树。,1.在斜树中，每一层只有一个结点；2.斜树的结点个数与其深度相同。,5.3 二叉树的逻辑结构,斜树的特点：,满二叉树在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。,满二叉树的特点：,叶子只能出现在最下一层；只有度为0和度为2的结点。,5.3 二叉树的逻辑结构,特殊的二叉树,满二叉树,5.3 二叉树的逻辑结构,不是满二叉树，虽然所有分支结点都有左右子树，但叶子不在同一层上。,满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最

15、多,特殊的二叉树,完全二叉树对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1in）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。,5.3 二叉树的逻辑结构,特殊的二叉树,在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树。,5.3 二叉树的逻辑结构,A,1,5,2,3,4,6,7,9,10,B,C,D,E,F,G,H,I,J,不是完全二叉树，结点10与满二叉树中的结点10不是同一个结点,特殊的二叉树,1.叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；2.完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。3.

16、深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。,完全二叉树的特点,5.3 二叉树的逻辑结构,特殊的二叉树,二叉树的基本性质,性质5-1 二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i1）。,证明：当i=1时，第1层只有一个根结点，而 2i-1=20=1，结论显然成立。假定i=k（1ki）时结论成立，即第k层上至多有2k-1个结点，则 i=k+1时，因为第k+1层上的结点是第k层上结点的孩子，而二叉树中每个结点最多有2个孩子，故在第k+1层上最大结点个数为第k层上的最大结点个数的二倍，即22k-12k。结论成立。,5.3 二叉树的逻辑结构,性质5-2 一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最

17、少有k个结点。,证明：由性质1可知，深度为k的二叉树中结点个数最多=2k-1；每一层至少要有一个结点，因此深度为k的二叉树，至少有k个结点。,5.3 二叉树的逻辑结构,二叉树的基本性质,性质5-3 在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有:n0n21。,证明:设n为二叉树的结点总数，n1为二叉树中度为1的结点数，则有：nn0n1n2 在二叉树中，除了根结点外，其余结点都有唯一的一个分枝进入，由于这些分枝是由度为1和度为2的结点射出的，一个度为1的结点射出一个分枝，一个度为2的结点射出两个分枝，所以有：nn12n21因此可以得到：n0n21。,5.3 二叉树的逻辑结构,二

18、叉树的基本性质,5.3 二叉树的逻辑结构,在有n个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？,二叉树的基本性质,性质5-3 在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有:n0n21。,性质5-4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。,5.3 二叉树的逻辑结构,证明：假设具有n个结点的完全二叉树的深度为k，根据完全二叉树的定义和性质2，有下式成立 2k-1 n 2k,最少结点数,最多结点数,完全二叉树的基本性质,5.3 二叉树的逻辑结构,证明：假设具有n个结点的完全二叉树的深度为k，根据完全二叉树的定义和性质2，有下式成立 2k-1 n 2k,完全二叉树的基本性质,性

19、质5-5 对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1in）的结点（简称为结点i），有：（1）如果i1，则结点i的双亲结点的序号为 i/2；如果i1，则结点i是根结点，无双亲结点。(2)如果2in，则结点i的左孩子的序号为2i；如果2in，则结点i无左孩子。(3)如果2i1n，则结点i的右孩子的序号为2i1；如果2i1n，则结点 i无右孩子。,5.3 二叉树的逻辑结构,完全二叉树的基本性质,对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则 结点i的双亲结点为 i/2；结点i的左孩子为2i；结点i的右孩子为2i1。,5.3 二叉树的逻辑结构,性质5表明，在完

20、全二叉树中，结点的层序编号反映了结点之间的逻辑关系。,完全二叉树的基本性质,二叉树的抽象数据类型定义,ADT BiTreeData 由一个根结点和两棵互不相交的左右子树构成，结点具有相同数据类型及层次关系Operation InitBiTree 前置条件：无 输入：无 功能：初始化一棵二叉树 输出：无 后置条件：构造一个空的二叉树,5.3 二叉树的逻辑结构,DestroyBiTree 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：销毁一棵二叉树 输出：无 后置条件：释放二叉树占用的存储空间 InsertL 前置条件：二叉树已存在 输入：数据值x，指针parent 功能：将数据域为x的结点插入到二叉树

21、中，作为结点parent的左孩子。如果结点parent原来有左孩子，则将结点parent原来的左孩子作为结点x的左孩子 输出：无 后置条件：如果插入成功，得到一个新的二叉树,二叉树的抽象数据类型定义,5.3 二叉树的逻辑结构,DeleteL 前置条件：二叉树已存在 输入：指针parent 功能：在二叉树中删除结点parent的左子树 输出：无 后置条件：如果删除成功，得到一个新的二叉树Search 前置条件：二叉树已存在 输入：数据值x 功能：在二叉树中查找数据元素x 输出：指向该元素结点的指针 后置条件：二叉树不变,二叉树的抽象数据类型定义,5.3 二叉树的逻辑结构,PreOrder 前置条

22、件：二叉树已存在 输入：无 功能：前序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 InOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：中序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变,二叉树的抽象数据类型定义,5.3 二叉树的逻辑结构,PostOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：后序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 LeverOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：层序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 endADT,二叉树的抽象数据类型定义,5.3

23、二叉树的逻辑结构,二叉树的遍历操作,二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。,二叉树遍历操作的结果？,5.3 二叉树的逻辑结构,二叉树的遍历方式：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD,如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：前序：DLR中序：LDR后序：LRD,层序遍历：按二叉树的层序编号的次序访问各结点。,5.3 二叉树的逻辑结构,考虑二叉树的组成：,前序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：访问根结点；前序遍历根结点的左子树；前序遍历根结点的右子树。,5.3 二叉树的逻辑结构,前序遍历序列：A B D G C

24、 E F,二叉树的遍历操作,中序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：中序遍历根结点的左子树；访问根结点；中序遍历根结点的右子树。,5.3 二叉树的逻辑结构,中序遍历序列：D G B A E C F,二叉树的遍历操作,后序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：后序遍历根结点的左子树；后序遍历根结点的右子树。访问根结点；,5.3 二叉树的逻辑结构,后序遍历序列：G D B E F C A,二叉树的遍历操作,层序遍历二叉树的层次遍历是指从二叉树的第一层（即根结点）开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按从左到右的顺序对结点逐个访问。,5.3 二叉树的逻辑结构,层序遍历序列：A B C

25、D E F G,二叉树的遍历操作,5.3 二叉树的逻辑结构,-,-,/,+,*,a,b,c,d,e,f,二叉树遍历操作练习,前序遍历结果：-+a*b-c d/e f中序遍历结果：a+b*c-d-e/f后序遍历结果：a b c d-*+e f/-,5.3 二叉树的逻辑结构,若已知一棵二叉树的前序（或中序，或后序，或层序）序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？,例：已知前序序列为ABC，则可能的二叉树有5种。,二叉树的遍历操作,5.3 二叉树的逻辑结构,例：已知前序遍历序列为ABC，后序遍历序列为CBA，则下列二叉树都满足条件。,若已知一棵二叉树的前序序列和后序序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？,二叉树的

26、遍历操作,若已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？怎样确定？,例如：已知一棵二叉树的前序遍历序列和中序遍历序列分别为ABCDEFGHI 和BCAEDGHFI，如何构造该二叉树呢?,5.3 二叉树的逻辑结构,二叉树的遍历操作,前序：A B C D E F G H I中序：B C A E D G H F I,前序：B C中序：B C,5.3 二叉树的逻辑结构,前序：D E F G H I中序：E D G H F I,前序：F G H I中序：G H F I,5.3 二叉树的逻辑结构,前序：D E F G H I中序：E D G H F I,1.根据前序序列的第一个元素建立根

27、结点；2.在中序序列中找到该元素，确定根结点的左右子树的中序序列；3.在前序序列中确定左右子树的前序序列；4.由左子树的前序序列和中序序列建立左子树；5.由右子树的前序序列和中序序列建立右子树。,5.3 二叉树的逻辑结构,已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，构造该二叉树的过程如下：,二叉树的遍历操作,顺序存储结构,二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置（下标）应能体现结点之间的逻辑关系父子关系。,如何利用数组下标来反映结点之间的逻辑关系?,完全二叉树和满二叉树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系。,5.4 二叉树的存储结构及实现,完全二叉树的顺序存储

28、,5.4 二叉树的存储结构及实现,以编号为下标,二叉树的顺序存储,5.4 二叉树的存储结构及实现,以编号为下标,按照完全二叉树编号,一棵斜树的顺序存储会怎样呢？,深度为k的右斜树，k个结点需分配2k1个存储单元。,一棵二叉树改造后成完全二叉树形态，需增加很多空结点，造成存储空间的浪费。,5.4 二叉树的存储结构及实现,二叉树的顺序存储结构一般仅存储完全二叉树,二叉链表,基本思想：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放与二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右孩子的指针。,结点结构：,其中，data：数据域，存放该结点的数据信息；lchild：左指针域，存放指向左孩子的指针；r

29、child：右指针域，存放指向右孩子的指针。,5.4 二叉树的存储结构及实现,template struct BiNode T data;BiNode*lchild,*rchild;,5.4 二叉树的存储结构及实现,二叉链表,二叉链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,具有n个结点的二叉链表中，有多少个空指针？,二叉链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,具有n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针。,二叉链表存储结构的类声明,template class BiTree public:BiTree()root=NULL;BiTree(BiNode*root);BiTree();void PreOrd

30、er(BiNode*root);void InOrder(BiNode*root);void PostOrder(BiNode*root);void LeverOrder(BiNode*root);private:BiNode*root;void Creat(BiNode*root);void Release(BiNode*root);,5.4 二叉树的存储结构及实现,前序遍历递归算法,template void BiTree:PreOrder(BiNode*root)if(root=NULL)return;else coutdata;PreOrder(root-lchild);PreOrde

31、r(root-rchild);,5.4 二叉树的存储结构及实现,5.4 二叉树的存储结构及实现,前序遍历算法的执行轨迹,二叉树前序遍历的非递归算法的关键：在前序遍历过某结点的整个左子树后，如何找到该结点的右子树的根指针。解决办法：在访问完该结点后，将该结点的指针保存在栈中，以便以后能通过它找到该结点的右子树。,在前序遍历中，设要遍历二叉树的根指针为root，则有两种可能：若root!=NULL，则表明？如何处理？若root=NULL，则表明？如何处理？,5.4 二叉树的存储结构及实现,前序遍历非递归算法,访问结点序列:,A,栈S内容:,B,D,A,B,前序遍历的非递归实现,5.4 二叉树的存储

32、结构及实现,A,D,B,C,访问结点序列:,A,栈S内容:,B,D,A,前序遍历的非递归实现,5.4 二叉树的存储结构及实现,A,D,B,C,D,访问结点序列:,A,栈S内容:,B,D,C,前序遍历的非递归实现,5.4 二叉树的存储结构及实现,A,D,B,C,C,1.栈s初始化；2.循环直到root为空且栈s为空 2.1 当root不空时循环2.1.1 输出root-data;2.1.2 将指针root的值保存到栈中；2.1.3 继续遍历root的左子树2.2 如果栈s不空，则2.2.1 将栈顶元素弹出至root；2.2.2 准备遍历root的右子树；,前序遍历非递归算法（伪代码）,5.4 二

33、叉树的存储结构及实现,前序遍历非递归算法（伪代码）,5.4 二叉树的存储结构及实现,template void BiTree:PreOrder(BiNode*root)top=-1;/采用顺序栈，并假定不会发生上溢 while(root!=NULL|top!=-1)while(root!=NULL)coutdata;s+top=root;root=root-lchild;if(top!=-1)root=stop-;root=root-rchild;,中序遍历递归算法,template void BiTree:InOrder(BiNode*root)if(root=NULL)return;els

34、e InOrder(root-lchild);coutdata;InOrder(root-rchild);,5.4 二叉树的存储结构及实现,后序遍历递归算法,template void BiTree:PostOrder(BiNode*root)if(root=NULL)return;else PostOrder(root-lchild);PostOrder(root-rchild);coutdata;,5.4 二叉树的存储结构及实现,层序遍历,5.4 二叉树的存储结构及实现,遍历序列：,A,A,B,C,B,D,C,E,F,G,D,E,F,G,层序遍历,队列Q初始化；2.如果二叉树非空，将根指针

35、入队；3.循环直到队列Q为空 3.1 q=队列Q的队头元素出队；3.2 访问结点q的数据域；3.3 若结点q存在左孩子，则将左孩子指针入队；3.4 若结点q存在右孩子，则将右孩子指针入队；,5.4 二叉树的存储结构及实现,二叉树的建立,为了建立一棵二叉树，将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值如“#”，以标识其为空，把这样处理后的二叉树称为原二叉树的扩展二叉树。,为什么如此处理?,5.4 二叉树的存储结构及实现,如何由一种遍历序列生成该二叉树？,遍历是二叉树各种操作的基础，可以在遍历的过程中进行各种操作，例如建立一棵二叉树。,扩展二叉树的前序遍历序列:A B#D#C#,5.4

36、 二叉树的存储结构及实现,二叉树的建立,设二叉树中的结点均为一个字符。假设扩展二叉树的前序遍历序列由键盘输入，root为指向根结点的指针，二叉链表的建立过程是：首先输入根结点，若输入的是一个“#”字符，则表明该二叉树为空树，即root=NULL；否则输入的字符应该赋给root-data,，之后依次递归建立它的左子树和右子树。,5.4 二叉树的存储结构及实现,二叉树的建立,template BiTree:BiTree(BiNode*root)creat(root)；void BiTree:Creat(BiNode*root)cinch;if(ch=#)root=NULL;else root=ne

37、w BiNode;root-data=ch;creat(root-lchild);creat(root-rchild);,建立二叉递归算法,5.4 二叉树的存储结构及实现,二叉树算法设计练习,遍历二叉树是二叉树各种操作的基础，遍历算法中对每个结点的访问操作可以是多种形式及多个操作，根据遍历算法的框架，适当修改访问操作的内容，可以派生出很多关于二叉树的应用算法。,void InOrder(BiNode*root)if(root=NULL)return;else InOrder(root-lchild);coutdata;InOrder(root-rchild);,二叉树算法设计练习,设计算法求二

38、叉树的结点个数。,void Count(BiNode*root)/n为全局量并已初始化为0 if(root)Count(root-lchild);n+;Count(root-rchild);,二叉树算法设计练习,设计算法按前序次序打印二叉树中的叶子结点。,void PreOrder(BiNode*root)if(root)if(!root-lchild,二叉树算法设计练习,设计算法求二叉树的深度。,int Depth(BiNode*root)if(root=NULL)return 0;else hl=Depth(root-lchild);hr=Depth(root-rchild);return

39、 max(hl,hr)+1;,二叉树算法设计练习,设计算法求树中结点 x 的第 i 个孩子。,template TNode*Search(TNode*root,T x,int i)if(root-data=x)j=1;p=root-firstchild;while(p!=NULL,template struct TNode T data;TNode*firstchild,*rightsib;,三叉链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,在二叉链表中，如何求某结点的双亲？,三叉链表,在二叉链表的基础上增加了一个指向双亲的指针域。,结点结构,其中：data、lchild和rchild三个域的含义同二

40、叉链表的结点结构；parent域为指向该结点的双亲结点的指针。,5.4 二叉树的存储结构及实现,三叉链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,三叉链表的静态链表形式,5.4 二叉树的存储结构及实现,线索链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,如何保存二叉树的某种遍历序列？,中序遍历序列：D G B A F C F,如果二叉树不改变，如何保存？,线索链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,如何保存二叉树的某种遍历序列？,中序遍历序列：D G B A F C F,如果二叉树改变，如何保存？,线索链表,5.4 二叉树的存储结构及实现,如何保存二叉树的某种遍历序列？,中序遍历序列：D G B A F C F,

41、如何将二叉链表与中序链表结合？,线索链表,线索：将二叉链表中的空指针域指向前驱结点和后继结点的指针被称为线索；线索化：使二叉链表中结点的空链域存放其前驱或后继信息的过程称为线索化；线索二叉树：加上线索的二叉树称为线索二叉树。,5.4 二叉树的存储结构及实现,如何保存二叉树的某种遍历序列？,将二叉链表中的空指针域指向其前驱结点和后继结点,5.4 二叉树的存储结构及实现,结点结构,线索链表,enum flag Child,Thread;template struct ThrNode T data;ThrNode*lchild,*rchild;flag ltag,rtag;,5.4 二叉树的存储结构

42、及实现,线索链表,结点结构,二叉树的遍历方式有4种，故有4种意义下的前驱和后继，相应的有4种线索二叉树：前序线索二叉树 中序线索二叉树 后序线索二叉树 层序线索二叉树,5.4 二叉树的存储结构及实现,线索二叉树,中序线索二叉树,5.4 二叉树的存储结构及实现,线索二叉树,中序序列：D G B A E C F,template class InThrBiTree public:InThrBiTree(ThrNode*root);InThrBiTree();ThrNode*Next(ThrNode*p);void InOrder(ThrNode*root);private:ThrNode*root

43、;void Creat(ThrNode*root);void ThrBiTree(ThrNode*root);,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序线索链表类的声明,分析：建立线索链表，实质上就是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索，而前驱或后继的信息只有在遍历该二叉树时才能得到。,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序线索链表的建立构造函数,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,已经建立起二叉链表,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

44、0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,

45、0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,1,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结

46、点,1,1,1,1,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,1,1,1,1,1,A,头指针,B,C,D,E,F,G,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,中序线索链表的建立过程,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序遍历二叉链表p为正在访问的结点pre为刚访问的结点,1,1,1,1,1,1,1,1,在遍历过程中，访问当前结点root的操作为：如果root的左、右指针域为空，则将相应标志置1；若root

47、的左指针域为空，则令其指向它的前驱，这需要设指针pre始终指向刚刚访问过的结点，显然pre的初值为NULL；若pre的右指针域为空，则令其指向它的后继，即当前访问的结点root;令pre指向刚刚访问过的结点root；,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序线索链表的建立,1.建立二叉链表，将每个结点的左右标志置为0；2.遍历二叉链表，建立线索；2.1 如果二叉链表root为空，则空操作返回；2.2 对root的左子树建立线索；2.3 对根结点root建立线索；2.3.1 若root没有左孩子，则为root加上前驱线索;若root没有右孩子，则将root右标志置为1；若结点pre右标志为1，则为p

48、re加上后继线索；2.3.4 令pre指向刚刚访问的结点root；2.4 对root的右子树建立线索。,5.4 二叉树的存储结构及实现,中序线索链表的建立构造函数,5.5 树、森林与二叉树的转换,是哪些树结构的存储结构?,树和二叉树之间具有对应关系,5.5 树、森林与二叉树的转换,树和二叉树之间的对应关系 树：兄弟关系二叉树：双亲和右孩子 树：双亲和长子二叉树：双亲和左孩子,5.5 树、森林与二叉树的转换,1.兄弟加线.,树和二叉树之间的对应关系,5.5 树、森林与二叉树的转换,2.保留双亲与第一孩子连线,删去与其他孩子的连线.,树和二叉树之间的对应关系,1.兄弟加线.,3.顺时针转动,使之层

49、次分明.,5.5 树、森林与二叉树的转换,树和二叉树之间的对应关系,2.保留双亲与第一孩子连线,删去与其他孩子的连线.,1.兄弟加线.,A,B,C,D,E,F,G,3.顺时针转动,使之层次分明.,5.5 树、森林与二叉树的转换,树和二叉树之间的对应关系,2.保留双亲与第一孩子连线,删去与其他孩子的连线.,1.兄弟加线.,树转换为二叉树,加线树中所有相邻兄弟之间加一条连线。去线对树中的每个结点，只保留它与第一个孩子结点之间的连线，删去它与其它孩子结点之间的连线。层次调整以根结点为轴心，将树顺时针转动一定的角度，使之层次分明。,5.5 树、森林与二叉树的转换,ABEFCDG,ABEFCDG,树的前

50、序遍历等价于二叉树的前序遍历！,5.5 树、森林与二叉树的转换,EFBCGDA,EFBCGDA,树的后序遍历等价于二叉树的中序遍历！,5.5 树、森林与二叉树的转换,森林转换为二叉树,将森林中的每棵树转换成二叉树；从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。,5.5 树、森林与二叉树的转换,5.5 树、森林与二叉树的转换,二叉树转换为树或森林,加线若某结点x是其双亲y的左孩子，则把结点x的右孩子、右孩子的右孩子、，都与结点y用线连起来；去线删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线；层次调