数模差分方程模型.ppt

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1、第七章 差分方程模型,重庆邮电大学数理学院,第一节 差分方程基本的基本概念与性质第二节 市场经济中的蛛网模型第三节 简单的鹿群增长模型第四节 减肥计划节食与运动第五节 差分形式的阻滞增长模型第六节 按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,第一节 差分方程的概念及性质,一.差分的定义与运算法则,1.差分的定义,解,解,2.差分的四则运算法则,可参照导数的四则运算法则学习,二 差分方程的基本概念,1.差分方程与差分方程的阶,定义1,定义2：,注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。,2.差分方程的解,含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.,

2、差分方程的通解,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.,通解中任意常数被初始条件确定后的解.,初始条件,差分方程的特解,引例1：Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,这个数列称为Fibonacc

3、i数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱 2.钢琴音阶的排列 3.树的分枝 4.杨辉三角形,引例2：日常的经济问题中的差分方程模型,1）.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,an,设r为年利率，由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,2）.家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大

4、学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,3）.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱

5、？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,例3,证明,三.线性差分方程解的结构,n阶齐次线性差分方程的标准形式,n阶非齐次线性差分方程的标准形式,1.n阶齐次线性差分方程解的结构,问题:,（是任意常数）,那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.,2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构,由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.,一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式,一阶常系

6、数非齐次线性差分方程的一般形式,四 一阶常系数线性差分方程的解法,解,特征方程,特征根,解,解,二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,1.,(1),(2),综上讨论,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,解,对应齐次方程通解,代入方程,得,解,2.,日常的经济问题中的差分方程模型,1.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,an,设r为年利率，由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r

7、)an,n=1,2,3,2.家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,家庭教育基金模型的解,由 a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,得通解:,将

8、 a0=x,=1+r,b=x 代入,得 c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:,将 a18=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.,3.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,购房抵押贷款模型的解,由 a0=200000,an+1=(1+r)an-x,

9、n=0,1,2,3,将=1+r,b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款，令 aN=0,得:,将 a0=200000,r=0.006,N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70,4.分期付款,小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可.同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？,经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为an，则 a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n

10、=0,1,2,3,贷款模型 a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,第二节 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛

11、 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使 尽量小，如=0,以行政手段控制价格不变,2.使 尽量小，如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线

12、性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件,方程通解,(c1,c2由初始条件确定),1,2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k,xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,1、问题的分析,由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。,2、模型假设,）动物的数量足够

13、大，故可以用连续的方法来度量。,）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。,第三节 简单的鹿群增长模型,）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。,）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。,）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。,）鹿的生育数与鹿的总数成正比。,3、模型的建立与求解,分别以,和,表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。,一年后，幼鹿存活的数量与,之比叫做幼鹿的存活率。,由假设，每年的存活率是一常数，分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的存活率。,因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能

14、力。根据假设，生育率也是常数，,分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的生育率。,假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。,一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为,成年鹿可生育的幼鹿数为,由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s，,所以一年以后新的幼鹿数：,(7.2.1),一年以后，原来的幼鹿存活数为,原来的成年鹿的存活数为,所以新的成年鹿的数目是,(7.2.2),(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：,(7.2.3),或用矩阵表示为：,(7.2.4),这是一个一步方程，令,，A=,则(7.2.4)式可表示为,(7.2.5),于是可推出：,或,=,n,(7.2.6),如果知道开始时幼鹿数量

15、,和成年鹿的数量,，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。,为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化：,令,=0,即,得特征方程：,(7.2.7),其判别式为,=,由于s,都是大于零的，所以判别式 0，,和,矩阵A可以对角化。,特征方程(7.2.7)有两个相异的实根,，这保证了,对于特征根,，从下面的线性方程组,=,可解得特征向量,同理可解得对应于特征根,的特征向量,所以可得矩阵 P,使得,A,即,于是得,将上式代入(7.2.6)式,=,=,记,=,(7.2.8),所以,=,=,由此可得：,n,故解得：,(7.2.9),现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据,0.8（千头）,0.3,0.

16、62 s0.8,1（千头）,1.5,0.75,计算今后6年鹿的总数。,为此，将以上数据代入(7.2.7),解得,将数据代入(7.2.8)得,最后由(7.2.9)得,4、模型评价,该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这时生育率与食物的获取有关。,第四节 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指

17、数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525 超重;BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；

18、,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k)第k周(末)体重,c(k)第k周吸收热量,代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每

19、周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。,运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),第五节 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型),t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t)某种群

20、t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N,则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x*的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3,x,b=3.3

21、,x两个极限点,b=3.45,x4个极限点,b=3.55,x8个极限点,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性,倍周期收敛,的稳定性,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57,b3.57,不存在任何收敛子序列,的收敛、分岔及混沌现象,b,第六节 按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分

22、方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di,假设与建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi,bi+10,则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。,各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率,3）=1时,各年龄组种群数量不变,1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,3）=1时,