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1、1,数理统计的基础知识,2,1.某电视机厂全年生产的电视机，,2.某个交通路口，,3.某汽车在高速公路上行驶,4.有一大批工业产品,其中参数,电视机的寿命，,设X为任一,服从什么分布？,在任意一个小时内,通过的车辆,服从什么分布？,任一时刻的速度,服从什么分布？,其中有正品和次品,任取一件,记,服从01 分布:,数为X，,为X,从中,该产品为正品,该产品为次品,3,数理统计,就是研究怎样有效地收集、,整理和,带有随机性的数据,以便对所考察的问题,作出推断和预测,分析,直至为采取一定的决策和行动,提供依据和建议.,这种由局部观察,来对总体下结论,必须建立在,科学的方法基础上,否则就会犯错误.,数
2、理统计的,就是给出这种统计推断,任务之一,以科学的理论,及方法.,4,数理统计,1.如何从总体中抽样?,2.如何用所抽样品对总体进行推断?,抽样,全面调查,(如人口普查),部分调查,总体,部分,抽样,统计推断,估计,假设检验,主要研究两方面的问题:,5,由于抽样是一个随机现象,对总体所作的推断不可能绝对准确,多少含有一定程度的,不确定性,这种不确定性,概率大,推断比较可靠,概率小,推断不太可靠,数理统计的核心问题是:,从总体中抽取样本,并且,必须伴有一定的概率,这种伴有一定概率的推断,所以根据部分观测,或试验的结果,用概率的大小表示.,(部分资料),根据样本所得到,的部分信息,对该总体作出推断
3、,(检验、估计),以表明推断的,称为统计推断.,要求每个推断,可靠程度.,6,1.抽样分布,是进行统计推断的基础理论部分.,2.参数估计,假设总体的分布类型已知,3.假设检验,对总体的分布,估计其中的参数.,或分布中的参数,提出假设,讨论,样本信息,对假设作出成立与否的判断.,怎样利用,4.回归分析,之间的相互关系,根据样本信息,对两个或两个以上,随机变量,进行统计推断.,7,4.1 总体与样本,一、总体与总体分布,总体：,研究的对象的全体,构成的集合.,个体：,组成总体的每一个成员.,统计学中关心的,不是每个个体的,所有特性,而仅仅关心它的某一项,或某几项,数量指标.,总体是一个随机变量.,
4、(或随机向量),总体的分布,称为总体分布.,定义4.1,统计学中,称随机变量,(或随机向量)X,为总体,并把随机变量,(或随机向量),X的分布,称为总体分布.,用X表示每个个体的,这一项 数量指标.,（几项）,8,总体中所含个体的数量,容量有限的总体,容量无限的总体,称为总体容量.,称为无限总体;,称为有限总体;,9,说明:,表示总体的X,既可以是随机变量，,也可以是,随机向量.,如果只关心每一个体的,一项数量指标，,则总体是随机变量；,数量指标，,如果关心两项,或两项以上,则总体就是随机向量.,但为简化讨论，,本书只考察,一项数量指标的情形,因此,今后总体,都是随机变量.,10,二、样本与样
5、本分布,11,由于,所以样本,通常,但当一次抽样实现后,称它们为样本值,一是指某次抽取的,有时泛指,一次抽取的可能结果,从总体X中,随机抽取n个个体,称为总体X的,这n个,一个容量为 的样本,n称为,是从总体X中,可能,结果,是n个随机变量,也把它们看成一个,元随机向量,它们就变成了n个具体的,或样本观测值.,常有,一个容量为n的样本时,每当提到总体 的,双重意义:,具体数值,即样本值,这时,个体,样本容量.,随机抽取出来的,数值:,是指样本随机变量,12,抽样应满足下面两个条件:,(1)随机性:,(2)独立性:,满足以上两个条件的抽样,简单随机样本,一定相互独立,有了简单随机样本，,都与总体
6、,总体中的每一个个体,有同等的机会,每次抽取的结果,不受其它抽取结果,也不影响其它抽取结果.,称为简单随机抽样,且每个,有相同的分布.,被抽到.,的影响,就可以利用概率论中,独立，,同分布,条件下的一系列结论.,13,定义4.2,是一组相互,独立，,在一次试验中,称为样本值,设X是总体,的随机变量.,且与 有相同分布,则称,简单随机样本,简称样本.,为来自总体 的,称为样本容量,样本的具体观测值,或样本观测值.,14,设总体X的分布函数为,故样本,的分布函数为：,因,都与总体同分布，,故,的分布函数也是,15,由于,相互独立,所以,(1)若总体X,是连续型的,与总体 有相同的分布,所以,由于,
7、所以,的,联合密度函数为,其概率分布为,由于,独立,是离散型的,(2)若总体X,与X同分布,16,4.2 统计量,定义4.3,的函数,任一不含未知参数,为统计量.,说明:,也是随机变量.,(2)统计量中可以有参数,是来自总体X的样本,称,(1)统计量,但不能有未知参数.,设,17,例,当已知时,当未知时,的一次观测值,由于统计量,就可以算出,称为统计量,观测值.,设总体,是来自 的一个样本,是统计量;,不是统计量.,中不含未知参数,对样本,的,18,二、常用的统计量,是来自总体X的样本,设,1.样本均值,2.样本方差,未修正样本方差,修正样本方差,要估计总体的方差,用,比用,更好,简称,为样本
8、方差.,19,未修正样本方差,样本方差,当 n 较大时,20,样本方差,3.样本标准差,4.样本k阶原点矩,5.样本k阶中心矩,15 统称为矩统计量,简称为样本矩.,它们都可表为样本的显式函数.,21,5.样本k阶中心矩,时，,22,6.顺序统计量,是来自总体X的样本,设,将各分量,按由小到大的次序排列成,称,为样本的一组,称为样本极小值;,称为样本极大值;,称为样本的极差.,顺序统计量.,23,三、枢轴量,定义,的分布已知,中仅包含总体的一个,则称,是来自总体X的样本,设,如果函数,未知参数,并且,设总体X的分布中,含有未知参数,为了估计,需构造一个包含的,样本函数,其分布已知.,已知分布,
9、为枢轴量.,24,4.3 常用的统计分布,25,一、分位数,定义4.4,设随机变量X,对给定,的实数,如果实数,满足条件,则称,为X的分布的,水平的上侧分位数.,当X是连续型随机变量时，,其密度函数为,的分布函数为,26,为 的,水平的上侧分位数.,为 的,水平1-的上侧分位数.,27,例,求标准正态分布的,上侧分位数：,解,28,如果连续型随机变量X,的密度函数,是偶函数.,即密度函数的图像,关于 y 轴对称.,称X是对称分布的随机变量,此时可定义,定义4.5,其分布函数,对给定的实数,如果正实数,满足条件,则称,水平的双侧分位数.,双侧,分位数.,设X是对称分布的随机变量,为,为X的分布的
10、,注意:,只有具有对称分布,的随机变量,才有双侧分位数.,29,具有对称分布,水平的双侧分位数.,为X的分布的,对于,的随机变量X,30,例,求标准正态分布的,水平=0.05,的双侧分位数.,及=0.1,解,=0.05时,设对应的双侧分位数为,=0.1时,设对应的双侧分位数为,31,函数:,如,函数有性质,如,32,1.定义,定义4.6,记为,则称X服从,自由度为 的,其中,时,与 有关.,若随机变量 的密度函数为,n为给定自然数.,33,即,当 时,指数分布.,就是参数为 的,当 时,密度函数的图像,皆为单峰曲线，,n 越大,峰值越靠右,曲线越平缓.,34,定理4.2,推论,相互独立，,设随
11、机变量 与,都服从,则,若随机变量,相互独立,则,分布,都服从,分布,35,定理,设,则,因为,定理,若随机变量,相互独立,且,则,证,相互独立,所以,也相互独立.,根据 分布的可加性,即,P66，例2.29,当n较大时,可用正态分布近似.,36,例,且,求,解,设,相互独立,则,分布的自由度,就是其数学期望.,进而可求出,设,37,设,对于给定的,水平的上侧分位数,38,例 设,例,例 设,当n较大时,可用,正态分布近似.,当n45时,有表可查.,的上侧分位数,39,例 设,解,求,解,求,例,设总体,一个简单随机样本,为来自 的,40,相互独立,也相互独立.,求,例,设总体,一个简单随机样
12、本,为来自 的,解,41,函数,如,函数有性质,在区间,42,三、F 分布,1.定义,定义4.7,的概率密度函数为,若随机变量,则称X服从,记为,自由度为m和n,其中 是给定自然数.,的F分布,称为第一自由度,称为第二自由度.,43,即,44,2.F分布的典型模式,定理4.3,则,设随机变量X和Y,相互独立,推论,若随机变量,则,45,3.F分布的,设,对于给定的,水平的上侧分位数,46,例,(P276),即,即,当0.1时,可查表.,47,在F分布表中，,当 较大时,例 设,求,0.975,可用结论:,解,48,一般地，,对,有,证,设,证毕,49,四、t分布,1.定义,定义4.8,的概率密
13、度函数为,若随机变量,则称X服从,记为,t 分布,其中 是给定自然数.,说明:,为偶函数,其图象关于 轴对称.,轴为,的渐近线.,与标准正态分布,的密度函数接近.,(4)当 较大时,自由度为n 的,为函数的最大值.,50,即,是偶函数,得到,由 分布的密度函数,51,定理4.4,2.分布的典型模式,设随机变量,且X与Y独立,则,52,设,对于给定的,水平的上侧分位数,53,例,设,P286,54,例,设,55,4.4 抽样分布,56,定理,设,则,定理,若随机变量,相互独立,且,则,定理4.3,则,设随机变量X和Y,相互独立,定理4.4,设随机变量,且X与Y独立,则,57,一、正态总体的抽样分
14、布,定理,一个简单随机样本,证,故它们的,X的,则,因为,独立,即,且都与 同分布,线性组合,设总体,是来自,58,在此定理的条件下，,定理,一个简单随机样本,X的,则,设总体,是来自,59,定理4.1,一个简单随机样本,来自X的,设总体,是,分别为样本均值,则,相互独立.,和样本方差,与,60,定理4.2,一个简单随机样本,来自X的,设总体,是,分别为样本均值和样本方差,则,1.单正态总体的抽样分布,61,2.双正态总体的抽样分布,设两个正态总体,的样本,与,相互独立,是总体X的,容量为 的样本,是总体Y的,容量为,与,也相互独立,故,P134 定理4.3（1）,62,设两个正态总体,的样本,与,相互独立,是X的容量为,的样本,是Y的,容量为,与,也相互独立,故,定理4.3（1）,当,时，,63,设两个正态总体,与,相互独立,是总体X的,容量为 的样本,是总体Y的,有相同的方差，,的样本,容量为,则,其中,定理4.3（3）,64,设两个正态总体,的样本,与,相互独立,是总体X的,容量为 的样本,是总体Y的,容量为,定理4.3（2）,65,例,设,是来自总体,的简单随机样本，,求系数,使,服从 分布,并求其自由度.,解,自由度为3.,
