整数规划规划论.ppt

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1、整 数 规 划(Integer Programming),整数规划的模型,分支定界法,割平面法,01 整数规划,指派问题,（一）、整数规划问题实例,例一、合理下料问题设用某型号的圆钢下零件A1,A2,Am 的毛坯。在一根圆钢上下料的方式有B1,B2,Bn 种，每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？,一、整数规划的模型,设：xj 表示用Bj(j=1.2n)种方式下料根数 模型：,例二、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2Am，他们的生产能力分别是a1,a2,am（假设生产同一产品）。第i个工厂的

2、建设费用为fi(i=1.2m),又有n个地点B1,B2,Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2bn。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？,设：xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2m、j=1.2n),1 在Ai建厂 又设 Yi（i=1.2m）0 不在Ai建厂 模型：,例三、机床分配问题 设有m台同类机床，要加工n种零件。已知各种零件的加工时间分别为a1,a2,an，问如何分配，使各机床的总加工任务相等，或者说尽可能平衡。,设：1 分配第i台机床加工第j种零件；xij（i=1.2m,j=1.2n）0 相反。于是，

3、第i台机床加工各种零件的总时间为：,又由于一个零件只能在一台机床上加工，所以有,因此，求xij，使得,（二）、整数规划的数学模型,一般形式,依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、01整数规划。,纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。,全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变量和剩余变量也必须是 整数）。,混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数，另一部分可以取非负实数。,01整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。,（三）、整数

4、规划与线性规划的关系,从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得倒的解是整数可行解。举例说明。,例：设整数规划问题如下,首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。,用 解法求出最优解x13/2,x2=10/3且有Z=29/6,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3)(2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。,按整数规划

5、约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。,图,因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。,目前，常用的求解整数规划的方法有：分支定界法和割平面法；对于特别的01规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。,（一）、基本思路,考虑纯整数问题：,整数问题的松弛问题：,二、分枝定界法,1、先不考虑整数约束，解(IP)的松弛问题(LP)，可能得到以下情况之一：.若(LP)没有可行解，则(IP)也没有可行解，停止计算。.若(LP)有最优解，并符合(IP)的整数条

6、件，则(LP)的最优解即为(IP)的最优解，停止计算。.若(LP)有最优解，但不符合(IP)的整数条件，转入下一步。为讨论方便，设(LP)的最优解为：,2、定界：记(IP)的目标函数最优值为Z*,以Z(0)作为Z*的上界，记为 Z(0)。再用观察法找的一个整数可行解 X，并以其相应的目标函数值 Z作为Z*的下界，记为Z Z，也可以令Z，则有：Z Z*,3、分枝：在(LP)的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件的变量，例如xr=（不为整数），以 表示不超过 的最大整数。构造两个约束条件 xr 和xr 1,如此反复进行，直到得到ZZ*为止，即得最优解 X*。,将这两个约束条件分别加入问题(I

7、P)，形成两个子问题(IP1)和(IP2)，再解这两个问题的松弛问题(LP1)和(LP2)。,4、修改上、下界：按照以下两点规则进行。.在各分枝问题中，找出目标函数值最大者作为新的上界；.从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最大者作为新的下界。,5、比较与剪枝：各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。,例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）,记为（IP）,解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题,记为（LP）,（二）、例题,用图解法求（LP）的最优解，如图所示。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),对于x

8、118/111.64，取值x1 1，x1 2对于x2=40/11 3.64，取值x2 3，x2 4先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 1,x1 2,x118/11,x2=40/11 Z(0)=218/11(19.8)即Z 也是（IP）最小值的下限。,有下式：,现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),先求（LP1）,如图所示。此时在B点取得最优解。x11,x2=3,Z(1)16找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,1,1,同理求（LP2）,如图所示。在C 点取得最优解。即x12,x2=10/3,Z(2)56/318.7 Z

9、2 Z116 原问题有比（16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 10/34 加入条件。,B,A,C,加入条件：x23,x24 有下式：,只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,先求（LP3）,如图所示。此时D 在点取得最优解。即 x112/52.4,x2=3,Z(3)-87/5-17.4Z-19.8但x112/5不是整数，可继续分枝。即 3x12。,D,求（LP4），如图所示。无可行解，不再分枝。,在（LP3）的基础上继续分枝。加入条件3x12有下式：,只要求出（LP5）和（LP6）的最优解即可。,x1,x

10、2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求（LP5）,如图所示。此时E 在点取得最优解。即 x12,x2=3,Z(5)17找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,E,求（LP6），如图所示。此时 F在点取得最优解。x13,x2=2.5,Z(6)31/215.5 Z(5),F,如对 Z(6)继续分解，其最小值也不会低于15.5，问题探明,剪枝。,至此，原问题（IP）的最优解为：x1=2，x2=3,Z*=Z(5)17以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：,LP1x1=1,x2=3Z(1)16,LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)19.8,LP2x1=2,x2=

11、10/3Z(2)18.5,LP3x1=12/5,x2=3Z(3)17.4,LP4无可行解,LP5x1=2,x2=3Z(5)17,LP6x1=3,x2=5/2Z(6)15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,练习：用分枝定界法求解整数规划问题（图解法）,x11,x12,x22,x23,x22,x23,x12,x13,LP1x1=1,x2=7/3Z(1)10/3,LPx1=2/3,x2=10/3Z(0)29/6,LP2x1=2,x2=23/9Z(2)41/9,LP3x1=33/14,x2=2Z(3)61/14,LP4无可行解,LP7x1=2,x2=2Z(7)4,LP8x1=3,x2

12、=1Z(8)4,x11,x12,x22,x23,x12,x13,解:用单纯形法解对应的(LP)问题,如表所示,获得最优解。,初始表,最终表,例二、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）,x1=13/4 x2=5/2 Z(0)=59/414.75 选 x2 进行分枝，即增加两个约束，2 x2 3 有下式：,分别在(LP1)和(LP2)中引入松弛变量x5和x6，将新加约束条件加入上表计算。即 x2+x5=2,x2+x6=3 得下表:,x1=7/2,x2=2 Z(1)=29/2=14.5继续分枝，加入约束 3 x1 4,LP1,LP2,x1=5/2,x2=3 Z(2)=27/2=13.5 Z(2)

13、Z(1)先不考虑分枝,接(LP1)继续分枝，加入约束 4 x1 3，有下式：,分别引入松弛变量x7 和 x8，然后进行计算。,x1=3,x2=2 Z(3)=13找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP3,x1=4,x2=1 Z(4)=14找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP4,树形图如下：,LP1x1=7/2,x2=2Z(1)29/2=14.5,LPx1=13/4,x2=5/2Z(0)59/4=14.75,LP2x1=5/2,x2=3Z(2)27/2=13.5,LP3x1=3,x2=2Z(3)13,LP4x1=4,x2=1Z(4)14,x22,x23,x13,x14,练习：用分枝定界法求解

14、整数规划问题（单纯形法）,LP1x1=1,x2=3Z(1)16,LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)19.8,LP2x1=2,x2=10/3Z(2)18.5,LP3x1=12/5,x2=3Z(3)17.4,LP4无可行解,LP5x1=2,x2=3Z(5)17,LP6x1=3,x2=5/2Z(6)15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,（一）、计算步骤：1、用单纯形法求解(IP)对应的松弛问题(LP)：.若(LP)没有可行解，则(IP)也没有可行解，停止计算。.若(LP)有最优解，并符合(IP)的整数条件，则(LP)的最优解即为(IP)的最优解，停止计算。.若(LP)

15、有最优解，但不符合(IP)的整数条件，转入下一步。,三、割平面法,2、从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量xr,将最优单纯形表中该行的系数 和 分解为整数部分和小数部分之和，并以该行为源行，按下式作割平面方程：,3、将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对偶单纯形法求出新的最优解，返回1。,的小数部分,的小数部分,例一：用割平面法求解整数规划问题,解：增加松弛变量x3和x4，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：,此题的最优解为：X(1,3/2)Z=3/2 但不是整数最优解，引入割平面。以x2 为源行生成割平面，由于 1/4=0+1/

16、4,3/2=1+1/2,我们已将所需要的数分解为整数和分数，所以，生成割平面的条件为:,也即：,将 x3=6-3x1-2x2,x4=3x1-2x2,带入 中，得到等价的割平面条件：x2 1 见下图。,现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：,此时，X1(2/3,1),Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割平面，其条件为：,用上表的约束解出x4 和s1，将它们带入上式得到等价的割平面条件：x1 x2，见图：,将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：,至此得到最优表，其最优解为 X=(1,1),Z=1,这也是原问题的最优解。,有以上解题过程可见，表中含有分数元素且算法过程中始终

17、保持对偶可行性，因此，这个算法也称为分数对偶割平面算法。,例二：用割平面法求解数规划问题,初始表,最优表,在松弛问题最优解中，x1,x2 均为非整数解，由上表有：,将系数和常数都分解成整数和非负真分数之和,以上式子只须考虑一个即可，解题经验表明，考虑式子右端最大真分数的式子，往往会较快地找到所需割平面约束条件。以上两个式子右端真分数相等，可任选一个考虑。现选第二个式子，并将真分数移到右边得：,引入松弛变量s1 后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。,得到整数最优解，即为整数规划的最优解，而且此整数规划有两个最优解：X=(0,4),Z=4,或 X=(2,2),Z=4。,（2，3）,01

18、整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决策变量xi 只取两个值0或1，一般的解法为隐枚举法。,例一、求解下列01 规划问题,四、01 整数规划,解：对于01 规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，一般会用穷举法来解，即将所有的0，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快的求得最优解。,由上表可知，问题的最优解为 X*=(x1=1 x2=0 x3=1)由上表可知：x1=0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x12 x25 x3 5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合

19、不必讨论，如下表。,例二、求解下列01 规划问题,解：由于目标函数中变量x1,x2,x4 的系数均为负数，可作如下变换：,令 x1 1 x1,x2=1-x2,x3=x3,x4=1-x4带入原题中，但需重新调整变量编号。令 x3=x1,x4=x2得到下式。,可以从()开始试算，x(3)(1.1.0.1)最优解。x(3)(1.0.1.0)是原问题的最优解，Z*=2,例三、求解下列01 规划问题,令 y1=x5,y2=x4,y3=x2,y4=x3,y5=x1 得到下式,所以，Y*=（），原问题的最优解为：X*（），Z*=8,（0.1.1.0.0）,练习：用隐枚举法求解01规划问题,在实际中经常会遇到

20、这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。,（一）、指派问题的数学模型 设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第I 个人去做第j 件工作的的效率（时间或费用）为Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假设Cij 0。问应如何分配才能使总效率（时间或费用）最高？,五、指派问题,设决策变量 1 分配第i 个人去

21、做第j 件工作 xij=0 相反(I,j=1.2.n),其数学模型为：,（二）、解题步骤：,指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。,第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即(1)从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；(2)再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,第二步：进行试指派，以寻求

22、最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作。然后划去 所在列(行)的其它0元素，记作；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。,(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0

23、元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。（5）若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m n,则转入下一步。第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。(1)对没有的行打号；(2)对已打号的行中所有含元素的列打号；(3)再对打有号的列中含 元素的行打号；,(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止；(5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回

24、到第二步(4)，另行试指派；若 lm n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。,例一：,2,4,9,7,4,2,有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,例二、,求解过程如下：第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派

25、：,找到 3 个独立零元素 但 m=3 n=4,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：,15,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作 用人员,-1,-2,l=m=4 n=5,l=m=4 n=5,此问题有多个最优解,28,用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：,