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1、第八讲 方程及方程组解法,本讲教学目标 掌握线性方程解法 掌握线性方程组的直接解法 掌握线性方程组的迭代解法 了解非线性方程和方程组的函数解法 了解非线性方程和方程组的迭代解法,线性方程组的求解不仅在工程技术领域涉及，而且在其他许多领域也经常碰到，因此它的应用相当广泛。线性方程组的解法一般分为两类：一类是直接法，另一类是迭代法。非线性方程组的解法主要采用迭代法求解，常用的有不动点迭代法、牛顿迭代法和Broyden迭代法等几种。,8.1 线性方程及方程组的解法 8.1.1 线性方程的解法通过调用函数 roots 求解。例1 求解方程 的根。p=1,-6,-72,-27 r=roots(p)p=1
2、-6-72-27 r=12.1229-5.7345-0.3884,8.1.2 线性方程组的解法 1.直接解法(1)利用左除和右除运算符。通过这两个运算符，程序会自动根据输入的系数矩阵判断选用哪种方法进行求解。对线性方程组 Ax=b，利用左除运算符“”求解：x=Ab右除同样。,例2：求解以下方程组。a=1 2;2 3;b=8;13;x=ab x=2.0000 3.0000,(2)利用矩阵分解方法 LU分解将非奇异的方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=L*U。Ax=b 可变换为 x=U(Lb)或 x=U(LPb)分解格式：L,U=lu(A)产生三角阵U和下三角阵L。L,U,P
3、=lu(A)产生三角阵U和下三角阵L以 及一个置换矩阵P。,QR分解：把矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=Q*R。Ax=b 可变换为 x=R(Qb)或 x=E(R(Qb)分解格式：Q,R=qr(A)产生正交阵Q和上三角阵R。Q,R,E=qr(A)产生正交阵Q、上三角阵R及置换阵E。,Cholesky 分解：把对称正定的矩阵A分解成一个上三角矩阵R和其转置矩阵R的乘积，即A=RR。Ax=b 可变成 x=R(Rb)分解格式：R=chol(A)产生一个上三角阵R。R,p=chol(A)A对称正定时，p=0；否则p为一个正整数。如果A满秩，则R为一个阶为p-1的上三角阵，且满足
4、RR=A(1:p-1,1:p-1)。,例3：求解方程组。a=12-3 3;-16 3-1;1 1 1;b=15;-13;6;L,U=lu(a);x=U(Lb)x=1.0000 2.0000 3.0000,2.迭代解法迭代解法适合求解大型系数矩阵的方程组。迭代解法主要包括：Jacobi迭代法 Gauss-Serdel迭代法 超松弛迭代法 两步迭代法,(1)Jacobi迭代法对线性方程组Ax=b，若A为非奇异方阵，则可分解 A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L、U为A的下三角阵和上三角阵，Ax=b 可化为 x=D-1(L+U)x+D-1b。对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1
5、(L+U)x(k)+D-1b如果序列 x(k+1)收敛于 x，则 x 必是方程Ax=b 的解。,function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end,Jacobi 迭代法的Matlab 函数文件Jacobi.m如下：,例4：用Jacobi迭代法求解线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0
6、e-6),(2)Gauss-Serdel 迭代法将Jacobi迭代公式 Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b 改为 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b即 Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。,function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end,Gauss-Serdel迭代法的Matlab函数文
7、件gauseidel.m如下：,例5：用Gauss-Serdel迭代法求解线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6),8.2 非线性方程及方程组的解法 8.2.1 调用函数求解1.使用fzero函数求解，其格式为：z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是函数文件名，x0为搜索起点。一个函数可能有多个根，但只给出离 x0 最近的根。tol 控制结果的相对精度，缺省取eps，tr
8、ace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取0。,例6：求 f(x)=x-10 x+2=0 在 0.5 附近的根。步骤如下：x0=0.5;%初值 z=fzero(x-10 x+2,x0)z=0.3758 x1=0 1;%定义包含根的区间 z=fzero(x-10 x+2,x1)z=0.3758,函数调用式如下：建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10 x+2;调用fzero函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.3758,2.使用fsolve函数求解 调用格式：x=fsolve(fun,x0,option)其中fun是
9、函数文件名，x0是初值，option为最优化工具箱的选项设定，默认缺省。最优化工具箱提供了 20 多个选项，用户可以使用optimset 命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。,例7：求解方程 在0,10内的解。首先作图如下：fplot(5*x2*sin(x)-exp(-x),0,0,10)发现在0,10区间中有4个解，分别在0,3,6,9附近，所以 用命令：fun=inline(5*x.2.*sin(x)-exp(-x);fsolve(fun,0 3 6 9,1e-6)ans=0.5018 3.1407 6.2832 9.4248,例8：求非线
10、性方程组在(0.5,0.5)附近的解。首先编制函数文件fc.m如下：function y=fc(x)y=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2);x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2);然后在命令窗口输入：x0=0.5 0.5;fsolve(fc,x0)或 fsolve(fc,x0),结果如下：ans=0.5265 0.5079,8.2.2 其他解法 非线性方程(1)对分法(2)迭代法 非线性方程组(1)不动点迭代法(2)牛顿迭代法(3)Broyden迭代法,具体使用格式和方法参考教材P86-94。,例 9 编制程序，对任何函数求根，在运行该程序时将显
11、示函数与零点的图形，用户在可能的零点附近用鼠标点击采点，程序通过循环计算每个采集点的根，并输出结果。以函数 求零点为例，综合叙述相关命令的用法。,y=inline(sin(t)2*exp(-a*t)-b*abs(t),t,a,b);a=0.1;b=0.5;t=-10:0.01:10;%对自变量采样y_char=vectorize(y);Y=feval(y_char,t,a,b);clf%作人机对话界面plot(t,Y,r);hold on,plot(t,zeros(size(t),k);%画坐标横轴xlabel(t);ylabel(y(t),hold off title(用鼠标在函数零点附近连续点五点),%循环使用命令fzero，求鼠标采集点附近的函数根。for i=1:5 t1,y1=ginput(1);ttt(i),yyy(i),exitflag=fzero(y,t1,a,b)%在ttt(i)附近搜索0点endA(:,1)=ttt;A(:,2)=yyy;A,计算结果为：A=x f(x)-2.0074 0.0000-2.0074 0.0000-0.5198 0.0000 1.6738 0.0000 1.6738-0.0000,本节完，谢谢！,
