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1、第三章 系统的时域响应分析,3.1 时间响应及其组成,（1）时间响应概念,时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。,动力学方程为：,例1 无阻尼的单自由度系统,根据微分方程的结构理论：,通解,特解,动力学方程,的解？,二阶线性非齐次方程,根据 求通解y1(t),当特征方程 中有一对共轭复根 时,特征方程为,当 时,其中：当 为特征方程根,则=1；否则=0。,根据 求特解y2(t),代入原方程可求得,b=max(l,n)。,特征根,代入原方程得,A、B根据初始条件及上式决定：,，,按响应的来源分为：零状态响应：初始状态为零时，系统输入引起的响应；在
2、控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零 状态响应。零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。按振动频率与作用频率的关系分为：自由响应：振动频率与作用频率无关；强迫响应：振动频率与作用频率相同。,（2）一般情况的时间响应,n阶线性定常系统，动力学方程表示为：,设其特征根为si(i=1,2n)，则系统的时间响应为：,系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；由y(t)=L-1G(s)X(s)所求得的输出是系统的零状态响应；对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x(t)引起的输出为y(t)，如此可求得下式的响应：,讨论：,（3）微分方程特征根的意义,系统的所
3、有特征根si(i=1,2n)均具有负实部，即Resi 0，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系统的自由响应项 收敛。这种系统称为稳定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项，强迫响应项又称为稳态响应项。,Resi 0绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢。绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快。,系统特征根的虚部Imsi的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况，绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高，它决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性。,系统所有特征根si(i=1,2n)均具有正实部，即Resi 0，则其自由响应项 最终会趋于+，即
4、系统的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。,结论：系统特征根的实部决定了系统的稳定与否；Resi绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢；系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况。,等效判据：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得：若系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内，则系统稳定；若系统传递函数在s平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。,(4)控制系统的时域性能指标,在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应分为动态过
5、程和稳态过程两个部分。因此，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。通常采用单位阶跃函数输入下的系统响应来衡量系统的控制性能：,5.稳态误差ess 对于单位反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统相应的实际值（稳态值）与期望值（输入量之差。准确性,3.2 一阶系统的响应分析,微分方程：,传递函数：,（1）单位脉冲响应,过渡过程：对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的2%之前的过程；过渡过程时间（调整时间）：过渡过程经历的时间。经过计算可得一阶系统的调整时间为4T。显然，系统的时间常数T愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信号
6、反应的快速性愈好。,瞬态项,（2）单位阶跃响应,过渡过程：其阶跃响应增长到稳态值的98%之前的过程，同样可算得相应的时间为4T。因此，时间常数T确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。,瞬态项,稳态项,（3）性能指标,调整时间（ts）：一阶系统在单位阶跃输入作用下，达到稳态值的1-所需要的时间 例如：=2%时，ts=4T；=5%时，ts=3T；调整时间反映系统响应的快速性。,3.3 二阶系统的响应分析,特征方程：,特征根：,典型传递函数：,无阻尼固有频率,阻尼比,其中：,（1）单位脉冲响应,当01时：,当=0时：,当=1时：,当1时：,二阶系统单位脉冲响应
7、,（2）单位阶跃响应,当01时：,当=0时：,当=1时：,当1时：,在欠阻尼系统中，当时，不仅其过渡过程时间比=1更短，而且振荡也不太严重。因此，一般希望二阶系统工作在的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数、n，可以使系统具有合适的过渡过程。,(3)二阶欠阻尼系统响应的性能指标,上升时间tr:响应曲线从原工作状态出发，首次达到输出稳态值所需时间。讨论：当一定时，n增大，tr 减小；当n一定时，增大，tr 增大；,峰值时间tp:响应曲线达到第一个峰值所需的时间。讨论：当一定时，n增大，tp 减小；当n一定时，增大，tp 增大；,调整时间ts:在过渡过程中，xo(t)取的值满足如下不等式时所需时间。
8、讨论：当一定时，n增大，tp 减小；当n一定时，增大，tp 增大；,；,振荡次数：在过渡过程时间内，xo(t)穿越其稳态值的次数的一半。讨论：振荡次数N 随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。,最大超调量Mp：讨论：Mp与n无关，而只与 有关，增大Mp减小.,从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出：系统性能指标的矛盾性。一般说来，系统的上升时间、峰值时间等反映系统响应快速性的性能指标与最大超调量、振荡次数等指标是相互矛盾的。为了使二阶系统具有满意的动态特性，必须合理选择系统的阻尼比和无阻尼固有频率。一般的做法是先根据最大超调量、振荡次数等要求选择系统的阻尼比，然
9、后再根据上升时间、峰值时间、调整时间等要求，确定系统无阻尼固有频率。,结论,3.5 系统的稳定性与劳斯判据,（1）引例,原理：外力阀芯初始位移Xi阀口2、4活塞右移（随动）阀口关闭（回复平衡位置）（反馈）活塞继续右移（惯性）阀口1、3开启活塞左移阀口关闭活塞继续左移（惯性）阀口2、4开启,随动：活塞跟随阀芯运动反馈与惯性：引起振荡振荡结果：（与外界作用无关）,系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关；不稳定现象的存在是由于反馈作用；稳定性是指自由响应的收敛性。,（2）结论,（3）定义,系统在初始状态作用下,无输入时的初态,输入引起的初态,输出（响应）,收敛（回复平衡位置）,发散（
10、偏离越来越大）,系统稳定,系统不稳定,（4）系统是否稳定完全取决于系统的特征根,线性定常系统：,当系统所有的特征根均具有负实部si(i=0,1,2,n)（位于s平面的左半平面）,自由响应收敛，系统稳定。,若有任一 si具有正实部（位于s平面的右半平面）,自由响应发散，系统不稳定。,若有特征根 sk=jw具有正实部（位于s平面的虚轴上），其余极点位于s平面的左半平面,简谐运动，自由响应等幅振动，系统临界稳定。,若有特征根 sk=0（位于s平面的原点），其余极点位于s平面的左半平面,自由响应收敛于常值，系统稳定。,（5）线性定常系统稳定的充要条件,若系统的全部特性根（传递函数的全部极点）均具有负实
11、部（位于s平面的左半平面），则系统稳定。,求出闭环极点？高阶难求；不必要。,（6）系统稳定的判别方法,实验？如果不稳定，可能导致严重后果。,特征方程 根的分布（避免求解）；,开环传递函数 闭环系统的稳定性；,（开环极点易知，闭环极点难求）,思路：,稳定判据,3.5.2 Routh判据,（1）Routh判据,代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布。,系统稳定的充要条件：,Routh表：,Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是：Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。,例1：系统的特征方程,第一列各元符号
12、改变次数为2，因此：（1）系统不稳定；（2）系统有两个具有正实部的特征根。,例2：已知，试确定K取何值时，系统方能稳定。,（1）7500K0,亦即K0,故能使系统稳定的参数K的取值范围为：0K34.6,(2)劳斯判据的特殊情况,第一，劳斯表中某一行的第一个元素为零，其它各元素不为零，或不全为零。这时可用一个任意小的正数代替这一行第一个为零的元素，然后继续劳斯表的计算并进行判断。这样处理的理由是因为特征方程式的阶次不变时，根是系数的连续函数。用代替零，相当于特征方程式的某些项或所有项的系数有一很小的变动。只要变动足够小，且原特征方程式没有纯虚根（若有纯虚根必然出现下文中第二种特殊情况），则根的变
13、动也是微小的，因此根在s平面上虚轴左、右的分布情况不会改变。,试用劳斯判据判断系统稳定性,例题,当很小时，s1行的12-（48/）0，这就可以判断劳斯表第一列元素符号改变两次，系统不稳定，并有两个正实部根。,第二，劳斯表中第k行元素全为零,这说明系统的特征根中存在关于原点对称的根（或是两个符号相异，绝对值相同的实根；或是一对共轭纯虚根；或上述两种类型的根兼而有之；或是实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复根）。此时，系统必然是不稳定的。在这种情况下，可作如下处理：（1）用k-1行元素构成辅助方程。辅助方程的最高阶次为n-k+2，然后s的次数递降2。（2）将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元
14、素，继续完成劳斯表。（3）解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的特征根。,试用劳斯判据判断系统稳定性,例题,辅助方程,求导,符号改变一次，有一个正实部根,3.6 系统误差与分析,（1）误差与偏差的关系,误差：控制系统的理想输出xor(t)与实际输出xo(t)之差，即,其拉氏变换为:,偏差：,其拉氏变换为:,当,当,时,故：,时,（2）稳态误差与稳态偏差,稳态误差：,终值定理,稳态偏差：,终值定理,（3）与输入有关的稳态偏差,当输入为单位阶跃信号,定义位置无偏系数：,系统的稳态偏差与输入信号、系统的结构特征有关。,当输入为单位斜坡信号,定义速度无偏系数：,当输入为单位加速度信号,定义加速度无偏系数：,设系统的开环传递函数为：,其中：v为系统的型次，当v分别为0、1、2、时，分别称系统为0型系统、I型系统、II型系统等等。,（4）系统存在干扰作用时误差和偏差,误差：,偏差：,结论：稳态误差与输入信号有关；系统型次越高，偏差越小；开环增益越大，偏差越小；当系统存在多个输入时，按叠加原理计算；单位反馈系统得稳态误差与稳态偏差相同。,
