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1、1.4 晶体宏观、微观对称及空间群和点群,1.4.1 宏观对称1.4.2 微观对称1.4.3 空间群和点群,1.4.1 晶体的宏观对称元素：,1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形，具有点对称性宏观对称元素。,对称中心 反映面 旋转轴 反轴,反演反映旋转旋转反演,晶体中的宏观对称元素,2，3，4，6次轴和平面点阵的结合,五种平面点阵分别属于下表的四种平面晶系,对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2，3，4，6轴和对称心，互相组合只能形成10种二维晶体学点群,二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。,原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组
2、直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与一组直线点阵垂直。2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6，而不存在5及6以上的轴次。,晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群.晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群数目也受到限制,只有32种.,32个晶体学点群,晶体学点群的对称元素方向及国际符号,点群的Schnflies符号,Cn:具有一个n次旋转轴的点群。Cnh:具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。Cnv:具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。Dn:具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。S
3、n:具有一个n次反轴的点群。T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。,32种点群的表示符号及性质,1.旋转轴(C=cyclic)：C1,C2,C3,C4,C6;1,2,3,4,62.旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：C1h=Cs,C2h,C3h,C4h,C6h;m,2/m,3/m(),4/m,6/m3.旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v;mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴S2=Ci,S4,S6=C3d;-1,-4,-3,32种点群的符号表示符号及性质,5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：D2,D3,D
4、4,D6;222,32,422,622 6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7.D群附加对角竖直平面：D2d,D3d;-42m,-3m8.立方体群(T=tetrahedral，O=octahedral)T,Th,O,Td,Oh;23,m3,432,-43m,m3m,晶体点群的Schnflies和国际符号,晶体的宏观对称类型：,八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。,由此，推出晶体所属的32个点群。,轴 C1 C2 C3 C4 C6,轴面,mh,mv,CS C2h C3h C4h C6h,C2V C3
5、V C4V C6V,轴21面,无面,D2 D3 D4 D6,mh,mv,D2h D3h D4h D6h,D2d D3d,轴mi,Ci C3i S4,正四面体 T Th Td,正八面体 O Oh,晶系和空间点阵形式：,1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把 32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。,晶系 特征对称元素 所属点群 晶胞参数,立方晶系六方晶系,三个,或四个,一个 或,一个 或,一个 或,三个,一个,无（仅有i）,四方晶系,三方晶系,正交晶系,单斜晶系,三斜晶系,1.4.2 微观对称元素：由于晶体的周期性结构
6、，是无限的几何图 形，具有微观对称性微观对称元素。,点阵,平移,螺旋轴,螺旋旋转,滑移面,反映平移,如 二重螺旋轴 21,同形性：宏观中，平移被掩盖，其它操作宏观微观一一对应。,从晶系到空间群,7个晶系,旋转，反射，反演,平移,螺旋轴，滑移面,32个点群,14种Bravais格子,230个空间群,（按照晶胞的特征对称元素分类）,空间群(Space Group),晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。它是晶体的对称宏观元素和微观对称元素的总和，一共有230种空间群。空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合。230个空间群是
7、由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组合而成。,空间群分布,三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个；三方晶系：25四方晶系：68个；六方晶系：27个立方晶系：36个。有对称中心90个，无对称中心140个。73 个 symmorphic(点式)，157个 non-symmorphic。,空间群对称元素的标准符号,对称元素的图示和印刷符号（1）,对称元素的图示和印刷符号（2）,了解Herman-Mauguin空间群符号,空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即Pnma、I4/mmm等)来指定。在简略符号中包含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。从简略H-
8、M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦然）。,空间群符号LS1S2S3,运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型：P，I，F，C，A，B。其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元素。如果没有二义性可能，常用符号的省略形式(如Pm，而不用写成P1m1)。*由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如P21/c,如滑移面选为在a方向，符号为P21/a;如滑移面选为对角滑移，符号为P21/n。,1.5 晶体的投影,1.5.1 球面投影1.5.2 极
9、射赤面投影1.5.3 吴氏网和极网1.5.4 标准投影1.5.5 极射投影的应用,1.5.1 球面投影,迹式球面投影法极式球面投影法,迹式球面投影法,极式球面投影法,1.5.2 极射赤面投影,极射赤面投影的两个重要的性质：1、球面上圆的投影仍然为圆2、球面上两个圆的夹角等于它们投影之间的夹角。（如何测量？乌氏网）,1.5.3 吴氏网和极网,南极,北极,赤道,若以赤道平面上一点为投影点，投影面平行于NS轴，则得乌氏网。,若以N或S为投射点，而投影面平行于赤道平面，则得到极网。,B2按步骤中的逆向转回到其投影位置B1，A3沿其所在纬线绕NS转过与B2相同的角度到达A4，A4即为A1绕B1转动40角
10、后的新位置。,转动轴与投影面呈任意倾角：轴的投影为B1点，欲使A1绕B1顺时针转动40。,将A1、B1同时绕NS轴转动，直至B1到达投影基圆圆心B2，A1点沿自身所在纬线转过相同的角度到达A2；,将B1置于乌氏网的赤道线上；,A2绕B2按预定方向和角度转过40角到达A3；,投影面的转换：利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。,P、Q、K投影在以O为极点的平面上，现欲将P、Q二点投影在以K为极点的投影面上，其作法是将K通过乌氏网的运作转到投影基圆的中心，P、Q随之作相同的旋转到达新位置P1、Q1，这就是以K为投影面时，P、Q点的极点位置。,（a）转轴B1与极点A1的位置（b）转动过程（c）转动结果,（100）极图,b)（011）,c)（111）,
