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1、1,概率论与数理统计,(复习二)开始,2,第四章 随机变量的数字特征（知识点）,随机变量数学期望的定义及性质，7个分布 的数学期望。,2.随机变量函数的数学期望求法,3.随机变量方差的定义及性质，7个分布 的方差。,4.协方差及相关系数，二维正态分布的协方差及相关系数。,*5.矩、协方差矩阵,*6.条件期望,3,定理:设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(函数g(x)是连续函数).,一、设离散随机变量X的分布律为 P(X=xk)=pk k=1,2,*随机变量函数的数学期望,若级数,绝对收敛,则有,4,二、连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分,绝对收敛,则有,5,1.数学期望的性质:(以
2、下均设所遇到的数学期望存在),10 设C为常数,则有 E(C)=C。,20 设C为常数,X是随机变量,则有 E(CX)=CE(X)。,30 X,Y是两个随机变量,则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。这个性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况.,40 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)。这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.,6,2.方差的性质:(以下均设所遇到的方差存在),10 设C为常数,则有 D(C)=0。,20 设C为常数,X是随机变量,则有 D(CX)=C2D(X)。,30 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=
3、D(X)+D(Y)。这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况.,40 D(X)=0 的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1,7,3.协方差的性质:(以下均设所遇到的协方差存在),10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。,30 设a,b为常数,则有 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)。,40 X1,X2,Y 是任三个随机变量,则有 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),20 Cov(X,c)=0。,50 当 X 和 Y 相互独立时,8,4.2对任意两个随机变量X和Y,有,4.3将定义式展开易得,我们常常利用这些式子计算。,即,2.
4、1对任意 随机变量X,有,9,设随机变量X具有数学期望 E(X)=和方差 D(X)=2,则对于任意正数,成立不等式.,此不等式称为切比雪夫(Chebyshev)不等式。,对一般随机变量值的估计要用到一个重要的不等式，,此不等式亦可写成,10,第五章 大数定律即中心极限定理（知识点）,1:几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛的定义,2：契比雪夫 大数定律（独立、方差有界），贝努利大数定律（二项分布的频率稳定性），辛钦大数定律（独立同分布）。,3：林德贝格勒维中心极限 定理（独立同分布），德莫弗-拉普拉斯 定理（二项分布），李雅普诺夫 定理(李雅普诺夫条件)。,满足条件的随机变量的算术平均序列与它
5、们的数学期望的算术平均序列之差依概率收敛于零。,则随机变量和的标准化序列依分布收敛于N(0,1),11,三个重要的收敛定义：,设,Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,X 也是一个随机变量.,则称,随机变量序列Y1,Y2,Yn,几乎处处收敛于X.记为,1：若存在 N S,P(N)=0.若对任意的 e Nc,有,依概率收敛,2：若对于任意正数,有,3：它们的分布函数分别为 Fn(x)和 F(x).若对F的每一个连续点 x,都有,依分布收敛,12,定理一:,设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,且具有,当n充分大时,满足条件的随机变量X1,X2,Xn的算术平均接近于它们的数学期望的平均。,5.2大
6、数定律,或有限方差,且存在常数C使得，,或有限方差,满足，,则 依概率收敛于 0。,或相同的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2.,13,定理三(辛钦定理)：,设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望 E(Xk)=(k=1,2,).则,随机变量的平均序列 依概率收敛于.,14,定理二(贝努利定理)：,设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率,则,(这是定理一、三的特殊情况),即：事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率。,15,定理一(独立同分布的中心极限定理),则随机变量和的标准化序列,5.3中心极限定理,设 X1,X
7、2,Xn,为相互独立的随机变量,服从同一分布,且具有数学期望和方差:,E(Xk)=,D(Xk)=2 0,(k=1,2,),依分布收敛于N(0,1),即,16,定理三(德莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace定理),设 随机变量序列n 服从参数为n,p的二项分布,则,即,对于足够大的 n，随机变量n 近似服从N(np,npq).,17,定理二(李雅普诺夫Liapunov定理),若存在正数,使得当 n 时,设 X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量,具有数学期望和方差:E(Xk)=k,D(Xk)=k20,记,则随机变量和的标准化序列依分布收敛于N(0,1),即,18,第六章 样本及抽样分
8、布（知识点）,1.随机样本、统计量的定义:,2.几个常用的统计量：样本平均值;样本方差;样本标准差;样本k阶(原点)矩;样本k阶(中心)矩;样本极差;样本中位数;样本分布函数。8个,3：几个抽样分布(0)正态分布(一)2分布;(二)t分布;(三)F分布 4个,4：分布的上、下、双侧分位点,5：正态总体的样本均值与样本方差的分布 4个,19,定义:设X是具有分布函数F的随机变量。若X1,X2,Xn是相互独立且具有同一分布的n个随机变量,则称X1,X2,Xn为从分布函数F(或总体F、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值x1,x2,xn称为样本值,又称为X的n个独立观察值.
9、,6.1随机样本,总体均可视为无限总体;抽出的部分(n个)个体为一个样本,亦视为有放回抽取,保证抽样为独立、同分布的随机样本;其个数n为样本容量。,20,定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,若g是连续函数且g中不含任何未知参数,则称函数g(X1,X2,Xn)是一个统计量.又设x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本值,则称g(x1,x2,xn)为g(X1,X2,Xn)的观察值.,21,设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本观察值.,6.2 几个常用的统计量,样本平均值:,样本方差:,样本标准差:,定义:,22,样本k阶(原点)
10、矩:,样本k阶(中心)矩:,样本极差:,23,我们指出:若总体X的k阶矩存在,记为E(Xk)=k,则当 n 时（辛钦定理）,对于连续函数g(x1,xk)，由依概率收敛序列的性质知,24,样本的函数是统计量,它是一个随机变量.它的分布称为抽样分布.,(一)2分布,为服从自由度为 n 的 2 分布,记为2 2(n),设X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量,6.3 抽样分布,25,(二)t分布,为服从自由度为 n 的 t 分布,记为 t t(n).,设 X N(0,1),Y 2(n),X 与 Y 相互独立.则称统计量,26,(三)F分布,为服从自由度为(n1,n2)的 F 分布,
11、记为 F F(n1,n2),设 U 2(n1),V 2(n2),U 与 V 相互独立.则称统计量,显然，1/F为服从自由度为(n2,n1)的 F 分布,即 1/F F(n2，n1),27,6.4（正态）总体的样本均值与样本方差的分布,1.设总体X数学期望E(X)=和方差D(X)=2存在(不管服从什么分布)。又设X1,X2,Xn是来自总体X的样本,则总有,2.进而，若 X N(,2)，则,于是进而有,定理一：,28,定理二：,设X1,X2,Xn是来自总体N(,2)X的样本,为样本均值和方差,则有,1.,2.,29,定理三：,设X1,X2,Xn是来自总体N(,2)的样本,为样本均值和方差,则有,3
12、0,设X1,X2,Xn1与Y1,Y2,Yn2分别是来自两正态总体N(1,12),N(2,22)的样本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为,这两个样本的方差为,31,其中：,如果且具有相同方差,则:,定理四:,则有:,定理五:,32,6.5(1)分布的上 分位点,则称 为该分布的上 分位点.如:正态分布、t 分布、2分布、F 分布、.等的上 分位点.请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0 1,若 满足条件,33,(2)分布的下 分位点,则称 为该分布的下 分位点.如:正态分布、t 分布、2分布、F 分布、.等的下 分位点.请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0
13、1,若 满足条件,34,(3)对称分布的 双侧分位点,则称 为该分布的双侧 分位点。如:正态分布、t 分布、.等的双侧 分位点。请注意：,设 X为一个随机变量,其分布密度为对称的,对任意0 1,若 满足条件,35,正态分布N(0,1)的下、(上)分位点记为:,t(n)分布的下、(上)分位点记为:,2(n)分布的下、(上)分位点记为:,F(n1,n2)分布的下、(上)分位点记为:,36,表中没有的(小于0.5的),可由对称性得出,1。正态分布的（上）分位点可查附表2.,注意 本书分位数的查找方法为,37,2。对于n=45的 分布的（上）分位点可查附表3;,u1-为标准正态分布的（上）分位点.,对于n45的 分布的（上）分位点由下式近似得到,表中没有的(小于0.5的),可由对称性得出,38,3。为 分布的下分位点.,对于n45的 分布的（下）分位点由下式近似得到,u为标准正态分布的下分位点.,39,4。对于 分布的下分位点可查附表5.表中无有的(较小的)可由右式得出:,40,概率论与数理统计,(复习二)结束,
