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1、,2-3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,O,X,Z,Y,同样，对于水平线和侧平线也可得到类似
2、的特性。,直线的正面投影ab反映直线 AB 的实长,并且反映直线 AB 对H、W面的倾角、。,直线的水平投影ab和侧面投影 ab 分别平行于OX 轴和OZ 轴。,投影特性：,(1)投影面平行线正平线,(1)投影面平行线,X,Z,水平线,实长,在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，并反映直线与另两投 影面倾角的实长。,另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。,投影特性：,O,侧平线,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,O,X,Z,Y,水
3、平投影abOX,侧面投影abOZ。,投影特性:,直线AB的正面投影ab积聚成一点;,同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。,（a）b,(2)投影面垂直线-正垂线,铅垂线,侧垂线,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,(2)投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,(3)一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,点的投影将线段的同名投影分割
4、成与空间线段相同 的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,点在直线上的判别方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,（应用第三投影）,解法二：,（应用定比定理）,a,b,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行、相
5、交、交叉（异面）。,两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,例：判断图中两条直线是否平行。,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,AB与CD不平行。,求出侧面投影,求出侧面投影后可知：,两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,d,k,k,d,例1：过C点作水平线CD与
6、AB相交。,先作正面投影,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,两直线交叉,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,两直线相交吗？,为什么？,a,c,c,A,a,C,V,b,H,d,d,D,B,b,c,a,c,a,b,d,d,b,O,X,1(2),投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间 一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,V,H,a,X,O,A,B,C,b,a,b,X,O,a,b,a,b,1.求直线的实长及对水平投影面的夹
7、角角,ZAB,AB,ZAB,ab,ZAB,AB,四、直角三角形法求实长,V,H,a,X,O,A,B,C,b,a,b,X,O,a,b,a,b,Z,Y,2.求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,YAB,YAB,Z,O,a,b,a,b,H,a,a,A,b,V,B,b,W,a,b,3.求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,XAB,例1：已知直线的投影，求直线的 实长及角。,X,O,a,b,a,b,实长,作图要点：1.作出直角三角形：直角边1=ab,直角边2=第三坐标差z，倾角=实长与ab夹角。,X,a,b,b,a b,a b,a,a,例2 已知AB直线的正面投影ab及点B的水平投 影b,=30,求a
8、b。,X,a,b,a,b,L,ZAB,L,c,b0,c0,c,AB,例3.在AB直线上取一点C,使AC=L。,五、直角投影定理,直角的投影特性：,空间两直线成直角（相交或交叉），若直角有一边平行于某投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc 为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,交叉垂直的两直线的投影,条件：互相垂直的两直线(相交或交叉)其中有一条直线平行于某一投影面,则：两直线在该投影面上投影仍互相垂直,直角投影定理,逆定理：相交或交叉的两条直线在同一
9、投影面上的 投影成直角 且有一条直线平行于该投影面,则：这两条直线在空间上必互相垂直,a,b,c,a,b,c,例4：过C点作直线与AB垂直相交。,例5 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,例6：过直线CD外一点A，作正平线AB 与CD相交。,c1,b1,X,O,f,f,e,e,例7 求直线AB和CD间的最短距离。,例8 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,例9 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,e,e,e,e,c,c,例10 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。,例11 求点E 到水平线AB的距离。,X,O,a,b,
10、a,b,e,e,d,d,yD-yE,所求距离,例12 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,O,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。定比定理。,重点掌握：,一、点的投影规律,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,二、各种位置直线的投影特性,三、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,四、两直线的相对位置,平行,相交,交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,
