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1、第五节 条件分布与条件期望,设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,.(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 PX=xi=pi i=1,2,.PY=yj=pj j=1,2,.设pi0,pj0，考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即 X=xi|Y=yj,i=1,2,.的概率,由条件概率公式,一、离散型随机变量的条件分布律,显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).PX=xi|Y=yj0；,1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,同理，对于
2、固定的i，若PX=xi0，则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,2.条件分布函数,同理：,例 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表,求条件分布律PX=xi|Y=2.,解：X与Y的边缘分布如表：,PX=-1|Y=2=p13/p.3=3/4；,PX=1|Y=2=p23/p.3=1/4；,PX=2|Y=2=p33/p.3=0；,又如：PX=1|Y=0=p21/p.1=0等；,设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有PX=x=0,PY=y=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXx|Yy.下面我们用极限的方法来处理.给定y,设对于任意固定的正数,Py-Yy+0
3、,于是对于任意x有,上式给出了在任意y-Yy+下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限,存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,记为PXx|Y=y或记为FX|Y(x|y).,2公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为p(x,y).若在点(x,y)处p(x,y)连续,且pY(y)0,则有,3.条件概率密度 定义,同理，,称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,例:设(X,Y)服从二维正态分布
4、 N(1,2,12,22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数pY|X(y|x).解:(X,Y)的密度函数为,由以前的例子知道,所以X=x条件下Y的条件概率密度为,这正是正态分布,例:设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度pY(y).,解:按题意X具有概率密度,对于任意的x(0 x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度,于是得关于Y的边缘概率密度为,三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式,由条件概率密度定义知,故,全概率公式的密度函数形式,代入条件概率密度定义式,即得,贝叶斯公式的密度函数形式,例,设X,在X=x的条
5、件下,求Y的概率密度,解,根据题意,有,故,按x 配方积分,即 Y仍服从正态分布.,二、条件数学期望,1 定义:,X在Y=y的条件下的条件分布的数学期望(若存在)称为X在Y=y的条件下的条件期望.,具体定义式:,(1)当(X,Y)为离散随机向量时,(2)当(X,Y)为连续随机向量时,同样地可定义Y在X=x的条件下的条件期望.,若记,可以看出,X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个,变量.,这不同于无条件期望E(X).,Y取确定值y的条件下,Y取值随机的条件下,则,作为随机变量Y,的函数,我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望,它是随机变量.,2.重期望公式,定理:,设(X,Y)为二
6、维随机向量,且E(X)存在,则,证明:略.,特殊的情形,(1)Y离散情形下,(2)Y连续情形下,给定Y=y时算X的条件期望,然后按Y=y的可能性大小进行加权平均,条件期望的应用,设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能是一个随机变量,且 在10,30上服从均匀分布.该公司对于电能的需要量也是一个随机变量,且 在10,20 上服从均匀分布.对于所供给的电能,公司取得每千瓦0.03元利润,如果需要量超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间内,公司所获得的利润的期望值是多少?,例,解:设 T 是公司所获得的利润,则,当 时,当 时,由全概率公式,得,(随即个随机变量和的数学期望),例,设,为一列独立同分布的随机变量,N是只取,正整数的随机变量,且N与Xn,n=1,2,相互独立.则有,证明：,=E(N),该结果的应用:见P197,
