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1、,三、极限的性质,极限的定义与性质,一、数列的极限,1、数列,无穷多个实数按一定次序排成一列,称为无穷数列（简称数列），记成,其中,称为,数列的第 n 项或通项。,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:,数列是整标函数,数列的几何意义.,n=19,n=32,n=42,n=50,问题:,1)当 n 无限增大时,数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?,2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,随着n的增加，1/n会越来越小。,我们可用两个数之间的距离来刻化两个数的接近程度,只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。,引入符号 N 和 来刻化
2、无限增大和无限接近。,定义2.2,给定数列,如果存在常数a，使得,（无论它多么小），,使得当,时，,绝对值不等式,恒成立，,则称数列,以 a,为极限，记为,或者,若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛。,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用数学语言给出极限的定义：,几何解释:,由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性.,例1,证,所以,注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有时找N比较困难，可把不等式适当变形、放大。,例2(常用结论),证,思考：,二、函数的极限,定义2.
3、3.设函数,若存在,1、自变量趋向时函数的极限,（2）几何解释:,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线,说明：,类似地可以定义下面两种情况:,当,时,有,当,时,有,从上述定义容易得到：,的充要条件是,一般地，若,则直线 为函数 的图形的水平渐近线.,或,或,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,例5.证明,证:,取,因此,注:,就有,为使,只需,2、自变量趋于有限值时函数的极限,或,即,当,时,有,若存在常数A,(3)几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,说明：,的接近程度，,(1),(2),定义无关.,例6.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,例7.证明,证:,欲
4、使,取,则当,时,必有,因此,只要,例8.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,2）.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,左极限与右极限统称为单侧极限.,由定义可知单侧极限与极限有下述关系：,说明：,当两个单侧极限有一个不存在，,或者虽然两,个单侧极限都存在但不相等时，,极限不存在.,例9.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:,因为,显然,所以,不存在.,三、极限的性质,性质1.,(唯一性）,(有界性),若,那么存在常数,和,使得当,有,性质2.,以下性质对所有极限过程均成立，统一以,表示.,性质3.（保号性）,且A 0,则存在,(A 0)，,若,性质4.（保号性
5、）,则,思考:若将条件改为,是否必有,不能!,如,性质5.（极限存在准则（I）两边夹准则）,且,常用结论：,反之不对，但当,证,解,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,重要极限,定义.若,则称函数,四、无穷小与无穷大,1、无穷小,当,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,说明:(1),除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,显然 C 只能是 0!,C,C,(2)一个变量是否为无穷小，与极限过程有关.,定理 2.2.(无穷小与函数极限的关系),证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、无穷大,定义
6、.若任给M 0,若在定义中将 式改为,记作,记作,（负无穷大）,当,例如:,函数,当,时为无穷大;,函数,时为负无穷大;,函数,当,时为正无穷大.,说明:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.一个变量是否为无穷大，与极限过程有关.,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,一般地，,3、无穷小与无穷大的关系,(1)若,为无穷大,为无穷小;,(2)若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.3.在自变量的同一变化过程中,说明:,定义2.5.,4、无穷小的比较,例如,当,时,对无穷大可以类似比较.,作 业,P50 3；5（4）；6；8,
