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1、(a),4.3题,似然比为:,第四章,根据贝叶斯准则，得门限,贝叶斯检测器为：,因此，判决区域为：,与,最小贝叶斯风险：,根据极大极小准则，需要找到一个门限，使得两种条件代价相等，即,(b),由题得：,解得：,附：求解过程,此等式转化为三次方方程,两个根为虚数，舍去，我们定义三次方方程模型为,实根可以写成,其中，,平均风险：,(c),根据NP准则，必须找到一个门限，满足,即,方程解:,其中，,因此，检测概率为,4.6题,下 的pdf为：,下 的pdf为：,似然比：,由题得,(a),根据贝叶斯准则，得门限,贝叶斯检测器：,化简得：,贝叶斯风险：,(b),根据极大极小准则，需要找到一个门限，使得两
2、种条件代价相等.由（a）可以得到,(c),虚警概率由门限决定：,通过变量替换,得：,由反函数可逆性：,因此检测概率为：,通过一个相似的变量替换，可得：,4.11题,（a）,（b）,（c）,（d）,所以：,第五章,5.1题,设,，根据中心极限定律，当，有,，,，,（a）,由NP准则，得虚警概率：,使用变量替换，,得到,由此得到：,（b）,由检测概率定义得,使用变量替换,可得：,代入（a）中求得的,，可得最终表达式：,因为，分母为正数，且定值，为使,5.3题,最大，即使分子最大。,把 代入分子中，并且根据Schwartz不等式，,可得：,即,当 时，进行简单的变换得到,即,因此满足Schwartz
3、不等式等号成立条件,分子取得最大值，故而 取得最大值。,5.8题,定义：,则有：,因为 为高斯随机变量，并且,所以：,5.12题,令：,为一组独立同分布的随机变量，,它的概率密度分布函数为：,即：,贝叶斯准则,由题得,似然比为,分情况进行讨论：,（1）当所有的 大于等于 时，,所以 判决为检测到目标。,（2）当任一 小于 时，,所以 判决为没有检测到目标。,最小贝叶斯风险：,由题得：，,5.13题,（a）,贝叶斯检测器可以写为：,当，,，判决为。,否则，,，判决为。,（b）,最小风险：,（c）,因为所有变量相互独立，,Log似然比为：,如果,为真，所有 等于0。,所以,因此，设计一个判决变量：
4、。,如果，,判决为；,如果，,判决为。,最小代价为：,（d）,基本代价为，,对N个采样，将存在额外代价。,因此，N个采样的总代价为。,使得总代价取最小值的N为2.,6.8题,（a）,不引入性能损失时，我们假设相位，,相关接收机写为：,其中，,第六章,则，,符合高斯分布，且,均值：,方差：,理想检测概率：,引入性能损失时，相位，,此时，,仍然符合高斯分布，且,均值：,方差：,所以：,（b）,在,假设下，,所以：,当 时，,6.9题,假设 时，根据等式5.66，它的似然函数为：,假设 时，,根据等式5.66，已知的条件概率密度函数为：,此时的平均似然函数为：,上式可以展开成：,将 与 下的似然函数
5、相除，可得到似然比：,其中指数项内的积分可以展开成：,令,其中,把 和 带入可以得到：,因此似然比的公式可以变成：,把 的概率密度函数代入上式得：,上式又可以写成：,其中 为修正的零阶第一类贝塞尔函数。,统计量可以写为：,进一步简化为为：,接收机框图为：,6.10题,（a）,因为相位是均匀分布的，根据课本上讲述的有：,因此，绝对密度函数为：,检测概率是对基于幅度的条件检测概率进行平均：,（b）,通过定义可知,可以证明所需的结果,6.12题,假设 时，,假设 时，,根据等式5.66，它的条件似然函数为：,根据等式5.66，它的条件似然函数为：,此时的条件似然比为：,对指数项内的第三个积分式行化简
6、：,所以条件似然比化简为：,因为条件似然比与 无关，所以似然比也是以上形式。,检测器可以写为：,进一步化简为：,如果先验概率相等，似然比的MAP门限为零，因此，检测器结构为：,第十章,10.11题,由题可知,因此,（a）,根据定义,分母项已经求得，分子项为：,将分子与分母项分别代入，得到：,（b）,为了求MAPE，需要先求,MAPE就是使 最大的估计值，所以,（c）,因为绝对误差估计是条件分布 的中位数，,条件分布以求得,根据定义有,当 时，,解得,当 时，,解得,10.12题,由题得：,取对数得：,对 a求导数：,得,对 求导数：,得,10.13题,由题得：,最大似然估计MLE就是使 最大的估计值。,时，可以取到0和2，当 时，,取得最大值，此时.,时，取到0，当 时，,取得最大值，此时.,为了求MAPE，需要先求,其中，,当 时，,显然，此时。,当 时，,显然，此时。,
