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1、概 率 总 复 习,可以在相同的条件下重复地进行;,每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.,随机现象,样本空间的元素,即试验E 的每一个结果,称为样本点.,随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为.,随机试验 E 的样本空间的子集称为 E 的随机事件,简称事件.,随机事件,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,必然事件与不可能事件,互称为对立事件.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,必然事
2、件 随机试验中必然会出现的结果.,重要的随机事件,复合事件 若干个基本事件的并集.,事件的关系和运算,(1)包含关系(子事件),若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，,则称事件 B 包含事件 A，记作,图示 B 包含 A.,B,(2)事件相等,(3)事件A与B的并(和事件),图示事件A与B 的并.,A,若事件A 包含事件B,而且事件B 包含事件 A,则称事件A 与事件B 相等,记作 A=B.,(4)事件A与B的交(积事件),图示事件A与B 的交.,A,(5)事件A与B互不相容(互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B 出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,
3、即,图示 A 与 B 互不相容(互斥).,(6)事件A与B的差,事件A出现而事件B不出现所成的事件称为事件A对B的差.记作 A-B.,图示 A 与 B 的差.,A,B,设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作,图示 A与 B 对立.,B,若 A与 B 互逆,则有,(7)事件A的对立事件,说明对立事件与互斥事件的区别,B,A，B 对立,A，B 互斥,互斥,对立,事件运算的性质,(1)频率的定义,频率,设 A 是随机试验 E 的任一事件,则,(2)频率的性质,概率的定义,概率的性质,n 个事件和的情况,定义,古典概型,设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的
4、任意一个事件,且包含m个样本点,则事件 A出现的概率为:,概率的计算公式,几何概型,当随机试验的样本空间是某个可度量区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为,条件概率,同理可得,为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,(1)条件概率的定义,(2)条件概率的性质,乘法公式,完备事件组,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,贝叶斯公式,称为贝叶斯公式.,事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 出现的概
5、率与事件 B 是否出现无关.,说明,事件的相互独立性,(1)两事件相互独立,(2)三事件的独立性,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,重要定理及结论,若试验只有两个结果(成功与失败；黑与白；正与反)，且在相同的条件下可重复进行，则称该试验为n重伯努利试验(n重伯努利概型).,n 重伯努利试验,n重伯努利概型的计算公式 设n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，则A出现k次的概率为：,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数域上,而随机变量是定义在样本空间上(样本空间的元素不一定是实数).,(1)随机变量与普通的函数不
6、同,随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,(3)随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,随机变量的分类,若随机变量所取的可能值是有限个或至多可列个,称为离散型随机变量.,连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间.,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)性质,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布,两点分布,二项分布,两点分布的分布列
7、为,泊松分布,则称X 服从超几何分布，记为 X h(n,N,M).,超几何分布,若随机变量X 的分布列为,称X为几何分布.记为 X Ge(p).,P(X=k)=(1-p)k-1p,(k=1,2,.),几何分布,若随机变量X 的分布列为,若X为n次试验中成功的次数，则X是二项分布.,在伯努利试验中，记成功的概率为p(0p1),P(X=k)=(1-p)k-1p,(k=1,2,.),二项分布、几何分布与负二项分布的特征,若X为“第r 次成功”时的试验次数，则X 服从负二项分布.,若X为首次成功时的试验次数，则X是几何分布.,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区
8、间内取值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,离散型随机变量的分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,40 F(x)是(-,+)上的连续函数.,若X是连续型随机变量，则,若 X 为离散型随机变量，则有,(3)注意,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布,(1)定义,(2)分布函数,标准正态分布的概率密度为,标准正态分布的分布函数为,(3)标准正态分布,标准正态分布的图形,密度函数,分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的函数的分布,定理,二维随机变量,(1)定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2)性质,二维离散
9、型随机变量的分布律,离散型随机变量(X,Y)的分布函数为,二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:,二维连续型随机变量及概率密度函数,(1)定义,(2)性质,表示介于 f(x,y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3)说明,(4)两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,称为随机变量(X,Y)关于 Y 的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布函数分别为,离散型随机变量的边缘分布律,连续型
10、随机变量的边缘密度函数,同理得 Y 的边缘密度函数为,联合分布,边缘分布,随机变量的相互独立性,重要结论,(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1.设C是常数,则有,2.设X是一个随机变量,C是常数,则有,3.设X,Y 是两个随机变量,则有,4.设X,Y 是相互独立的随机变量,则有,二维随机变量的数学期望,同理,则,则,方差的定义,离散型随机变量的方差,方差的计算公式,连续型随机变量的方差,方差的性质,1.设 C 是常数,则有,2.设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,协方差与相关系数的定义,协方差的性质,相关系数的性质,
