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1、3.4 利用正交变换 化实二次型为标准形,一.相似矩阵与相似变换,二.实对称矩阵的对角化,三.利用正交变换化二次型 为标准形,11.15第十五讲,想要解决的问题,给定实二次型,求正交变换,保向量长度不变,分析:若 P 存在,有何特点:,与比较可见:,P 为正交阵,PTP=E,PT=P1,P为正交阵,故上式可写为:,一.相似矩阵与相似变换,定义1.,设A,B 为 n 阶方阵,则称 A 与B 相似,B 是A 的相似矩阵,P 称为将A 变到B 的相似变换矩阵.,若存在可逆矩阵P,使,定理1.n 阶方阵A 与B 相似,A,B 有相同的,特征多项式,从而有相同的特征值.,证:,因A 与B 相似,所以存在
2、可逆矩阵P,使,故,证毕,推论1.,A的特征值为,证:,所以由定理1 知结论成立.,二.实对称矩阵的对角化,定理2.A为实对称矩阵,A 的特征值为实数,证:设 为A 的特征值,为对应特征向量,则有,两边取共轭:,而,由,1 2 均为A 的特征值,定理3.,A为实对称矩阵,为对应特征向量,正交,证:已知,1 2,因此,因 1 2,定理4.,A为实对称矩阵,必有正交阵 P,使,其中对角阵 的对角元为A 的特征值.,(证明略),说明:,将矩阵 P 按列分块,特征值,特征向量,由定理4可知，对任何实对称矩阵，存在 n 个正交规范的特征向量,注意:特征值与特征向量的排列顺序应一致,三.利用正交变换化实二
3、次型为标准形,第一步.由特征方程,求出 A 的所有特征值,第二步.求每一特征值 k 对应的正交规范特征向量系,即(1)求,的基础解系,(2)用施米特正交化法将其正交规范化,第三步.以所得n个正交规范特征向量为列构成矩阵P,则得,第四步.写出正交变换,和二次型的标准形,例1.设,求一个正交阵P,使,为对角阵.,解:,等价方程组:,得基础解系:,二者已正交,故正交的单位特征向量:,等价方程组:,得基础解系:,单位化:,且有:,故得正交矩阵:,说明:,2.特征向量取得不一样,正交矩阵P的形式也不一样,1.特征值为重根时,求得的特征向量可能不正交,则需要,将其正交规范化,例2.求一个正交变换,把二次型,化为标准形.,解:二次型的矩阵为,A的特征多项式:,得特征值:,解,正交化:,单位化:,计算,得基础解系:,等价方程组:,解,得基础解系:,单位化:,计算,由此得正交矩阵:,故经正交变换,二次型化为:,作业 P135.14,17(1),
