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1、第十一章 梁的位移计算,梁的位移计算,工程实例,2,梁的位移计算,工程实例,3,梁的位移计算,工程实例,本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍。,4,梁的位移计算,挠度、转角及其相互关系,挠曲线：梁变形后的轴线。,在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度,yA,q,B x,x,v,l,向上为正，向下为负,v=f(x),挠曲线方程,弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角,=(x),转角方程,逆转为正，顺转为负,5,梁的位移计算,q,B,A,x,v,l,dv tg=dx,横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近
2、似相等，即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。,6,梁的位移计算,曲率公式,挠曲线微分方程,q,B,1M(x)=(x)EI z,A,x,v,l,挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率,1,=,d v 2dx,dv 1+dx,2,2,3,2,d v 2dx,dv 2 1+()dx,32,2,M(x)=EI z,微小量,挠曲线微分方程,7,梁的位移计算,在小变形情况下,dvM=2dxEI z,2,正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关,y,M 0,d v 0 2dx,2,y,M 0,d v 0 2dx,2,O,2,x,O,x,d vM=2dxEI z,挠曲线近似微分方程,8,梁的位移计算,积分法求梁的位移
3、,d vM(x)=2dxEI z,2,dvM(x)(x)=dx+C dxEI z,M(x)v(x)=dx dx+Cx+D EI z,C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。,挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积分法。,9,梁的位移计算,确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。,边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零或为已知,y,l,x,y,l,x,固定铰链支座,固定端约束,x=0,v=0,x=l,v=0,v=0 x=0=0,10,梁的位移计算,变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处的挠度和转角相等。
4、在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等。,y,2l 3 l,x,边界条件,变形连续条件,2x=0,v=0;x=l,v=0 3,2x=l,v1=v2,1=2;3,11,梁的位移计算,思考：,用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和连续条件是什么？,y,q,x,l,a,x=a+l v=0=0,答：边界条件 x=0 v=0,连续性条件 x=l,v1=v2,12,例,如图所示悬臂梁，在自由端受集中力作用，设为常量，试求梁的最大挠度和最大转角。,解、建立挠曲线近似微分方程,取坐标系如图所示，弯矩方程,P,y,l,x,M(x)=P(l x)=P(x l),d v P(x l)=2dxEI z,2,x,、
5、积分求通解,PP x=(x l)dx=(lx)+C EI zEI z 2,2,13,例,2,PP x=(x l)dx=(lx)+C EI zEI z 2 32 P x lxPv=(x l)dxdx=()+Cx+D EI zEI z 62,、确定积分常数,P,x,x=0=v=0C=D=0,、转角方程和挠曲线方程,P x=(lx)EI z 2,2,3,y,l,x,2,P x lxv=()EI z 62,、确定最大挠度和最大转角 max,Pl=2 EI z,2,Plv=3EI z,3,14,例,求简支梁挠曲线方程，已知，EI为常数。,解,、建立挠曲线微分方程,y,q,d v M(x)1 11 2=(
6、qlx qx)2dxEI zEI z 22,、积分求通解,2,11 2M(x)=qlx qx 22,A,ql2,B x,x,l,ql2,ql 2 q 3 EI z=x x+C 46 ql 3 q 4EI z v=x x+Cx+D 1224,15,例,ql 2 q 3EI z=x x+C 46,y,q,ql 3 q 4EI z v=x x+Cx+D 1224,、确定积分常数,A,B x,ql2,x=0,v=0,3,x=l,D=0,v=0,ql2,x,l,qlC=,24,、转角方程和挠曲线方程,q l 2 1 3 l=(x x)EI z 4624,3,qx l 2 1 3 lv=x)(x EI z
7、 122424,16,3,例,求简支梁最大挠度，已知，EI为常数。,解,、建立挠曲线微分方程,y,a,F,b,A,x1,x2,l,C,B x,a Fl,bM 1(x1)=F x1 l,b F(0 x1 a)l,bM 2(x2)=Fx2 F(x2 a)l,(a x2 l),d v bEI 2=Fx1 dxl,2,2,(0 x1 a),d v bEI 2=Fx2 F(x2 a)dxl,(a x2 l),17,例,、分两段积分,b 2EI 1=Fx1+C1 2l,b 3EIv1=Fx1+C1 x1+D1 6l,y,bF 2 F2EI 2=x2(x2 a)+C2 2l2,a,F,b,A,b Fl,B
8、x,a Fl,x1,x2,l,C,bF 3 F3EIv2=x2(x2 a)+C 2 x2+D2 6l6,、确定积分常数,x1=0,v1=0,x2=l,v2=0,x1=x2=a,v1=v2 1=2,Fb 22C1=C2=(l b)6l,D1=D2=0,18,例,、转角方程和挠曲线方程,bFx1 2 2 2 Fb 2 22 EIv1=(x1 l+b)EI 1=(x1 l+b)6l 6l bF3l 2222 3 x2 l+b(x2 a)EI 2=6lb bF 3 2l 23EIv2=x2 l+b(x2 a)6lb,、求最大挠度,设：ab,则最大挠度在AC段。最大挠度处截面的转角为零。,32,1=0,
9、x0=,l b 3,2,2,vmax,Fbl b=1 2 9 3EI l,2,2,19,梁的位移计算,叠加法求梁的位移,在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线近似微分方程,d vM(x)=2dxEI z,2,此方程为线性方程,外力和弯矩之间也为线性关系,挠度和转角和外力之间为线性关系,当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形，等于各载荷单独作用引起的变形的代数和叠加原理。,叠加法求梁的变形,20,梁的位移计算,梁在简单载荷作用下的变形,21,梁的位移计算,22,梁的位移计算,23,梁的位移计算,24,梁的位移计算,25,梁的位移计算,思考：,应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么
10、？,答：小变形，材料符合胡克定律。,26,梁的位移计算,4,3,已知图1B点的挠度和转角分别为 ql/8 EI，ql/6 EI，图2C截面的转角为多少？,q,A,l,B,ql/8 EI,3,q,A,B,C,l,l,27,例,如图所示简支梁，已知，试利用叠加法求vc,解,将荷载分解为两组,q,F,A,l/2,l,C,B,q,A,l,B,4,l/2,F,A,l,B,3,5qlvc1=384EI,5qlFlvc=vc1+vc 2=384EI 48EI,4,3,Flvc 2=48EI,28,例,如图所示悬臂梁，已知，试利用叠加法求vB,解 B为自由端，CB段无内力，梁变形后CB段必保持为直线,q(l/
11、2)ql=vC=8EI128EI 33 q(l/2)qlC=6 EI48 EI,4,4,q,A,l/2,CC,C,l,B,v B1,vB2,v B1,ql=vC=128 EI,4,4,vB 2,llql=tan C=C=2296 EI,4,4,29,4,qlql7qlvB=vB1+vB 2=128EI 96EI384EI,例,如图所示外伸梁，已知，试利用叠加法求vD,解,D为自由端，BD段无内力，梁变形后BD段仍保持为直线,将AB段视为简支梁，查表：,B,Fl=16 EI,2,B,A,C,F,l/2,B,B,D,l/2,a,v D=a B,Fl a=16 EI,30,2,梁的位移计算,梁的刚度
12、条件 提高粱刚度的主要措施,一、梁的刚度条件,vmax v,max,v,许用挠度,许用转角,一般轴,滑动轴承,吊车梁,v=(0.0003 0.0005)l=(0.003 0.005)radv=(0.0013 0.0025)l,31,例,机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁，其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1的相互作用力。主轴为空心圆截面，外径 D=80mm，la内径 d=40mm，=400mm，=100mm，P=2kN，1 P2=1kN，材料的弹性模量为 E=200GPa。规定主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘处的挠度不超过 43两轴承间距的 1/10，轴承处的转角
13、不超过 1/10 rad。试校核主轴的刚度。,P2,A,C,P 1,B,D,l/2,l/2,a,32,例,解,Iz=,D,4,64,(1)=1.885 10 mm,4,6,4,B,A,C,P2,l/2,B,B,D,P2l 4 B(P2)=0.265 10 rad 16 EI Z,2,l/2,a,B,vD(P2)=B(P2)a=2.65 10 mm,3,P al 4 1 B(P1)=0.707 10 rad 3EI Z,Pa 3 1vD(P)=(l+a)=8.84 10 mm 1 3EI Z,2,A,C,P 1,D,l/2,l/2,a,vD=vD(P)+vD(P2)=6.19 10 mm1,3,
14、B=B(P1)+B(P2)=0.442 10 rad,4,vD v 5=1.548 10 l l,满足刚度要求,33,梁的位移计算,二、提高粱刚度的主要措施,增大截面惯性矩,因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圆轴等。,尽量减少梁的跨度或长度,因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施。,34,梁的位移计算,增加支撑,35,梁的位移计算,改善受力情况,改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。,P,y,l,x,qlv=3EI z
15、,qlv=8 EI z,36,4,y,q,x,l,4,梁的位移计算,简单静不定梁,梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目，因而仅靠平衡方程不能求解静不定梁。,q,A,B,l,37,梁的位移计算,变形比较法 比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处 的变形，写出变形协调条件进行求解。,将处约束去掉,基本静定系 静定基,相当系统,A,l,B,加上及约束力,变形协调条件,3,4,q,A,vB=0,MA,RB lqlvB=0 3EI 8 EI,RB,B,l,q,A,B,38,3RB=ql 8,梁的位移计算,本章小结,挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程,v=f(x),=(x),dv tg=dx
16、,挠曲线微分方程,d v 2dx,dv 2 1+()dx,32,2,M(x)=EI z,d vM=2dxEI z,39,2,梁的位移计算,积分法求梁的位移,边界条件和连续条件,dvM(x)(x)=dx+C dxEI z,M(x)v(x)=dx dx+Cx+D EI z,叠加法求梁的位移,梁的刚度条件,max,vmax v,40,梁的位移计算,提高梁的刚度的主要措施,增大截面惯性矩；改善受力情况；增加支撑；尽量减少梁的跨度或长度。,简单静不定梁变形比较法,41,梁的位移计算,本章作业,（1）已知M，F，EI=常数，试利用积分法求挠曲线方程。,（2）已知 q=8kN/m，l=5m，E=200GPa，=160MPa，,f=250。试选择工字钢型号。l,42,
