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1、1,24 平面任意力系向平面内一点简化,1.力的平移定理:可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。,其中,F=F=F,M=Fd=MB(F),作用在物体上的 力的作用线任意分布在同一平面内（或近似分布在同一平面内）的力系；当物体及所受的力都对称于同一平面时，也为平面任意力系问题。,2,2.平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩,任意点O 为简化中心,F1=F1，F2=F2，Fn=Fn,Mi=Mo(Fi)(i=1，2，n),平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。,3,Mo=M1+M2+Mn=,F
2、R主矢,Mo 主矩,平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。,平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力FR,FR=F1+F2+Fn=,平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。,(31),(32),4,取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，则力系主矢的解析表达式为,主矢FR的大小和方向余弦为,主矩的解析表达式,5,一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称为固定端或插入端支座,6,3.平面任意力系的简化结果分析,简化结果可能有以
3、下几种情况，即：（1）FR=0，Mo 0；（2）FR 0，Mo=0；（3）FR 0，Mo 0；（4）FR=0，Mo=0。,FR=0，Mo 0,原力系合成为合力偶，合力偶矩为,（2）平面任意力系简化为一个合力的情形,原力系简化为一个力，FR 就是原力系的合力,合力作用线通过简化中心O。,（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形,(a)FR 0，Mo=0,7,原力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用线在点O的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O的距离为d。,平面任意力系平衡。,（3）平面任意力系平衡的情形,(b)FR 0，Mo 0,FR=0，Mo=0,FR=FR=FR,8,平面任
4、意力系的合力矩定理,由图(b),合力 FR 对点O的矩为,由式（32）,得,合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,MO(FR)=FRd=MO,9,例10 已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F=200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离。,解：,10,得力系向点O的简化结果如图（b);,合力及其与原点O的距离如图(c)。,11,例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。,解:在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x)=qx/l。在此处取的一
5、微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x)=qxdx/l。,设合力作用线到A端的距离为 xC，,梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为,根据合力矩定理,12,小 结,1.力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原来的力 对新作用点的矩。,2.平面任意力系向平面内任选一点O简化:可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系的主矩。,3.平面任意力系的简化结果,（1）FR=0，Mo 0,（4）FR=0，Mo=0,（2）FR 0，Mo=0,（3）FR 0，Mo 0,合力偶，合力偶矩，,合力，合力作用线通过简化中心O。,平衡
6、。,合力，合力作用线到简化中心O的距离为,13,25 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：,FR=0 Mo=0,主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。即上式为平面任意力系平衡的充分条件。,由上节分析结果可知：在另外几种情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的必要条件。,平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。,14,1.平衡条件的解析式(即平衡方程）：,2.二力矩式,3.三力矩式,条件是：A、B两点
7、的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直,条件是：A、B、C三点不能共线,下一页,22,23,15,例12 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。求A和B处的支座约束力。,16,解：（1）取AB梁为研究对象，画受力图,联解上各式得,（2）列静力平衡方程,17,例13 如图所示平面刚架AB，其上作用有力P 和力偶M，力偶矩等于Pa，若P、a均为已知，求A、B两处的约束反力。,18,解法一：（1）选AB为研究对象，画受力图,（2）列静力平衡方程,联解上各式得：,19,二力矩式,
8、解法二：（1）选AB为研究对象，画受力图,（2）列静力平衡方程,联解上各式得：,D,17,20,解法三：（1）选AB为研究对象，画受力图,（2）列静力平衡方程,联解上各式得：,三力矩式,17,21,例14 自重为P=100KN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN,q=20KNm,l=1m。求固定端A的约束力。,22,解：T字形刚架ABD的受力如图所示。,解方程得,23,4.平面平行力系的平衡条件和平衡方程,如图：物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。,则平行力系的独立平衡方程为：,如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否平衡，恒有,平行力系平衡方程的
9、二力矩式：,24,例15 塔式起重机如图所示。机身总重为W=220kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P=50kN，平衡块重Q30kN。求：满载和空载时轨道A、B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻倒的危险。,（1）起重机受力图如图,（2）列平衡方程：,解：,解方程得:,25,满载时,P=50kN,则,空载时,P=0,则,RA=45kN,RB=255kN,RA=170kN,RB=80kN,讨论:,(a)满载时，为了保证起重机不致绕B点翻到，必须使RA0;同理，空载时，为了保证起重机不致绕A点翻到，必须使RB0;,(b)由上计算知：满载时，RA=45kN0;空载时，RB=80 kN0;所
10、以此起重机在使用过程中无翻倒的危险。,26,例16 塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200KN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3，到机中心距离为6m。求：,（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡荷重P3 为多少？,（2）当平衡荷重P3=180KN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？,27,解：选起重机为研究对象。,（1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平衡条件。,满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平衡方程。在临界情况下，FA=0。求出的P3 值是所允许的最小值。,空载时，为使起重机不绕点A翻
11、倒，力系满足平衡方程。在临界情况下，FB=0。求出的P3 值是所允许的最大值。,28,起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平衡荷重P3应在两者之间，即：75KNP3 350KN,（2）取P3=180KN，求满载时作用于轮子的反力FA和FB。由平面平行力系的平衡方程：,解方程得,验证：,29,30,26 物体系的平衡 静定和超静定问题,由若干个物体组成的系统称为物体系。,物体系中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。,物体系中的未知量数目多于独立平衡方程的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定问题。,外力
12、：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物系平衡的特点：物系平衡时，物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）,31,32,物体系 的平衡问题求解：,（1）可以选每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后求解；,（2）也可先取整体为研究对象，列出平衡方程，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体为研究对象，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。,33,例17 图示组合梁（不计自重）由AC和CD两部分铰接而成。已知：F=10kN，P=20kN，均布载荷 q=5kN/m，梁的BD段受线性分布载荷，q0=6k
13、N/m，求A和B处的约束反力。,解：（1）选整体为研究对象。,34,（2）选CD为研究对象。,解得,35,例18 齿轮传动机构如图示。齿轮的半径为r，自重为P1。齿轮的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮，轮与轮共重P2=2P1。齿轮压力角=20，物体C重为P=20P1。求：(1)保持物体C匀速上升时，作用在轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A,B的约束力。,36,解（1）选取轮，及重物C为研究对象。,解得,由平衡方程及压力角定义,37,（2）选取轮为研究对象。,解得,38,例19 图示钢结构拱架由两个相同的钢架AC和BC铰接，吊车梁支承在钢架的D，E上。设两钢架各重为P=60KN；吊车梁重为
14、P1=20KN，其作用线通过点C；载荷为P2=10KN；风力F=10KN。尺寸如图。D，E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束力。,39,解（1）选整个拱架为研究对象,受力如图。,40,（2）选右边拱架为研究对象，受力如图,（3）选吊车梁为研究对象，受力如图,解得,41,例20 图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆AB组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉B穿透AB及BC两构件，在销钉B上作用一铅垂力F。已知q，a，M，且M=qa2。求固定端A的约束力及销钉B对杆BC、杆AB的作用力。,42,解（1）选CD杆为研究对象，其受力如图示。,解得,（2）选BC杆为研究对象，其受力如图
15、示。,解得,43,（3）选销钉B为研究对象，其受力如图示。,解得,即销钉B对杆AB的作用力为：,44,（4）选直角弯杆AB为研究对象，其受力如图示。,解得,45,例21 图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为 1.2 kN 的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的重量。求支座A和B处的约束反力，以及杆BC 的内力FBC。,解：（1）选整体为研究对象，其受力如图所示。,46,（2）取ADB杆为研究对象，其受力如图所示。,解得,式中r为轮的半径，细绳拉力F=P。,解得,47,48,2-7 平面简单桁架的内力计算,桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成的结构
16、，几何形状不变。,如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。本节的研究对象为平面桁架。,49,1、平面桁架的静力学模型,50,2、简单平面桁架的构成,51,3、桁架的内力计算,52,例22 平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。求各杆的内力。,解（1）选节点E为研究对象，受力图如图(b)。,（2）选节点C为研究对象，受力图如图(c)。,53,（3）选节点D为研究对象，受力图如图(d)。,54,例23 平面悬臂桁架所受的载荷如图(a)所示。求杆1,2,3的内力。,解（1）用I-I截面将桁架截开，取桁架右半部为研究对象。其受力图如图(b)所示。,（2）选
17、节点E为研究对象，受力图如图(c)所示。,55,例24 如图所示桁架，F=5kN，b=1.5m。求杆1、2和6的内力。,解（1）以桁架整体为对象，计算支座的约束反力：,56,（2）计算杆1的内力：选节点A为研究对象，受力图如图(b),杆1的长度为：,57,（3）计算杆2 的内力：用I-I截面将桁架截开，取桁架左半部为研究对象。其受力图如图(c)。,F2对点A 的力臂：,（4）计算杆6 的内力：以节点C 为对象，其受力图如图(d)。,杆2 的长度为：,58,4、零杆问题的讨论,59,上例中已知杆6为零杆，考虑节点D，由结论(1)，可知杆9为零杆。同理可推知，杆11与12也为零杆。,左图中，可知杆1、2、3 4为零杆。,60,例25 已知 P d,求：四杆的内力？,解：由零杆判式,研究A点：,61,第二章结束,
