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1、第4章 电路的若干定理(Circuit Theorems),4.1 叠加定理(Superposition Theorem),4.2 替代定理(Substitution Theorem),4.4 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),4.5 特勒根定理(Tellegens Theorem),4.3 互易定理(Reciprocity Theorem),4.6 对偶原理(Dual Principle),4.1 叠加定理(Superposition Theorem),一、线性电路的齐次性和叠加性,线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。,1.齐次性（homogenei
2、ty)(又称比例性，proportionality),齐次性：若输入x(t)响应y(t)，则输入K x(t)Ky(t),2.叠加性（superposition),若输入x1(t)y1(t)(单独作用）,x2(t)y2(t)xn(t)yn(t)则x1(t)、x2(t)xn(t)同时作用时响应y(t)=y1(t)+y2(t)+yn(t),注：x1(t)xn(t)可以是不同位置上的激励信号,3.线性=齐次性+叠加性,若输入x1(t)y1(t)(单独作用）x2(t)y2(t)xn(t)yn(t)则:K1 x1(t)+K2 x2(t)+K n xn(t)K1 y1(t)+K2 y2(t)+K n yn(
3、t),注：齐次性是一种特殊的叠加性。故，线性电路的根本属性是叠加性,二、叠加定理,叠加定理：在线性电路中，任一支路电流(或电压)都可以看成是电路中各个独立源分别单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。,注：一个独立源单独作用，其余独立源需置零。,电压源置零视为短路。,电流源置零视为开路。,例1.,求图中电压u,解:,(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路（图a）,u=4V,(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路（图b）,u=-4（6/4）=-9.6V,共同作用：u=u+u=4+(-9.6)=-5.6V,是否可以视为不存在？,例2.,求电压Us。,(1)10V电压源单独作用：,
4、(2)4A电流源单独作用：,解:,Us=-10 I1+4=-101+4=-6V,Us=-10I1+(6/4)4=-10(-1.6)+9.6=25.6V,共同作用：,Us=Us+Us=-6+25.6=19.6V,例:,如图，N为线性含源电阻网络，(a)中I1=4A，(b)中I2=6A，求(c)中I3=?,解：,(a)中仅由N内独立源单独作用时 I1=4A,(b)中由N内独立源和4V电源共同作用时 I2=6A,故仅由 4V电源单独作用时R1支路电流 I2=6-4=10A,若仅由(c)中6V电源单独作用时R1支路电流 I3=15A,故(c)中电流I3=I1+I3=4+15=19A,小结:,1.叠加定
5、理只适用于线性电路。,2.某独立源单独作用，其余独立源置零,零值电压源短路。,零值电流源开路。,3.功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。,4.u,i叠加时要注意各分量的方向。,5.受控源不能单独作用。某独立源单独作用时，受控源应始终保留。,4.2 替代定理(Superposition Theorem),替代（置换）定理：,含独立源的任意网络中，若已知其中某一单口网络（或某一支路）的电压和电流分别为uK和iK，则可将此单口网络（或支路）用uK电压源或iK电流源替代。若替代后网络仍有唯一解，则原网络中其它部分电压电流分配不变。,注:被替代部分N与M中应无耦合关系,与理想电流源串联,电流为零可以断
6、开,与理想电压源并联,简证替代定理:,等电位点可以短接,例：如图(a)电路，运用节点法可以求得I1=-0.5A，I2=0.75A，I3=0.75A，U1=15V。运用替代定理将I3支路用0.75A电流源替代如图(b)，试验证其余各支路电流、电压不变。,0.75A,由图(b)得：(0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75(节点方程）,解：,得：U1=15V,故 I1=(10-U1)/10=(10-15)/10=-0.5A I2=U1/20=0.75A,I3=0.75A 故替代后电压、电流分配不变。,例：,求如图(a)电路中电流i1、i2(分解法和替代定理）,a,b,解：,(1)将原电
7、路分解为N1、N2两个单口网络,(2)为了求i,将N1、N2分别等效如图(b),(3)为求i1，将N2用1/3A电流源替代（图(c)、(d)）,得 i1=1/9A（分流）,(4)为求i2，将N1用 8/9V 电压源替代（图(e)）,得 i2=8/9 A,替代与等效的区别：,如前例中，N2可用2/3V电压源串联2/3电阻来等效它，也可用1/3A电流源来替代它。这时电路中其他部分电压电流分布都不变。但替代只针对特定的外电路N1时才成立，外电路改变，替代的电流源大小也改变。而等效则是指对任意外电路都成立。,N2被等效,N2被替代,例.,若要使,试求Rx。,注：替代是特定条件下的一种等效（即只在一点等
8、效）,解：,用替代：,=,+,U=U+U=(0.1-0.075)I=0.025I,工作点,替代后唯一解的重要性,Us/Rs,Us,Iq,Uq,隧道二极管,小结：,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。,3.替代后外电路及参数不能改变(只在一点等效)。,2.替代后电路必须有唯一解。,4.3 互易定理(Reciprocity Theorem),例:,对(a):,对(b):,有I1=I2 说明互易性,第一种形式:,电压源激励，电流响应。,不含独立源和受控源的线性双口网络，其端口具有互易性。,令NR表示具有互易性的双口网络。,互易定理：,第二种形式:,电流源激励，电压响应。,第三种形式:,
9、即：当Us数量上等于Is时，U1数量上等于I2,练习:,已知图(a)电路，求图(b)中开路电压Uab=?,答案：Uab=-40mV,例：,求电流I。,解：,利用互易定理,I1=I2/(4+2)=2/3A,I2=I2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-2/3A,I2,I,解毕！,I1,(1)互易定理只适用于不含独立源和受控源的线性网络,(2)激励为电压源时，响应为电流,激励为电流源时，响应为电压,电压与电流互易。,(3)互易前后要注意激励与响应的参考方向。（如何判断？）,(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理时应注意：,(5)互易前后网络内部电压、电流一般会发生改变。,
10、例：由图(a)中条件求图(b)中电流I=?(NR为互易双口网络）,（互易定理、替代定理及叠加定理综合应用）,2A,5V,解：,(a)中，NR的11 端输入电阻R=10/2=5，故有(c)图成立。,答案：I=2.5/5=0.5A,两种错误应用互易定理的例子：,4.4 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称单口网络),等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源,与电阻并联支路),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源
11、支路及其计算方法。,1.戴维南定理:,任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的线性二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电压源(Uoc)和电阻R0的串联组合来等效；此等效电压源的电压等于该二端网络的端口开路电压Uoc，而等效电阻等于该二端网络中所有独立源置零后的输入电阻。,其中：,N0为将N中所有独立源置零后所得无源二端网络。,证明:（略）,(a),(b),(对a),利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。,=,+,根据叠加定理，可得,电流源i为零,网络N中独立源全部置零,u=Uoc(外电路开路时a、b间开路电压),u=-R0 i,则,u=u+u=Uoc R0 i
12、,此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！,小结：,(1)等效电压源极性与所求Uoc方向有关。,(2)等效电阻的计算方法：,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；,外加电源法。,开路电压、短路电流法。,(3)外电路改变时，含源单口网络的等效电路不变。,(4)当单口网络内部含有受控源时，其控制电路也必须包含在被等效的单口网络中。,例.,(1)计算Rx分别为1.2、5.2时的I；,(2)Rx为何值时，其上可获最大功率?,解：,保留Rx支路，将其余单口网络化为戴维南等效电路：,(1)求开路电压Uoc,Uoc=U1+U2=-104/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V,(2)求等
13、效电阻R0,R0=4/6+6/4=4.8,(3)Rx=1.2时，,I=Uoc/(R0+Rx)=2/6=0.333A,Rx=5.2时，,I=Uoc/(R0+Rx)=2/10=0.2A,对本例，即当Rx=R0=4.8时，其上可获最大功率。,（4）求Rx获最大功率的条件。,为了求Rx获最大功率的条件，令：,Rx=R0（负载匹配条件）Pxmax=U2oc/4R0,得：,上式又称最大功率传输定理,例：由图(a)中条件求图(b)中电流I=?(NR为互易双口网络）,（利用戴文南定理和互易定理）,解：,在(a)中，NR的11 端输入电阻R0=10/2=5。,I=?,答案：I=0.5A,且有(c)图中11 端开
14、路电压Uoc=5V。,作(c)图中11 端以右的戴文南等效电路（d）,含受控源电路戴维南定理的应用,求U0。,例.,解：,(1)求开路电压Uoc,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,内部独立源置零,(2)求等效电阻R0,方法1：外加电源法,U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0=9(2/3)I0=6I0,R0=U0/I0=6,方法2：开路电压、短路电流法,(Uoc=9V 已求得),6 I1+3I=9,3I=-6I,I=0,Isc=9/6=1.5A,R0=Uoc/Isc=9/1.5=6,(3)等效电路,思考：,外加电源法与开路电压短路电流法的区别,例
15、.,解：,(1)a、b开路，I=0，Uoc=10V,(2)求R0：加压求流法(内部独立源置零),U0=(I0-0.5 I0)103+I0103=1500I0,R0=U0/I0=1.5k,(含受控源电路)用戴维南定理求U。,U=Uoc 500/(1500+500)=2.5V,Isc=-I，(I-0.5I)103+I103+10=0,1500I=-10I=-1/150 A,即 Isc=1/150 A,R0=Uoc/Isc=10 150=1500,(3)等效电路：,开路电压Uoc、短路电流Isc法求R0：,R0=Uoc/Isc,Uoc=10V（已求出）,求短路电流Isc(将a、b短路)：,另：,I=
16、I0,U0=0.5I0 103+I0 103=1500I0,R0=U0/I0=1500,解毕！,(内部独立源置零),任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的单口网络N，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效；电流源的电流等于该单口网络的端口短路电流Isc，而并联电导(电阻)等于把该单口网络的所有独立源置零后的输入电导(电阻)。,2.诺顿定理：,其中：,N0为将N中所有独立源置零后所得无源二端网络。,诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。,例.,试用Norton定理求电流I。,(1)求Isc,I1=12/2=
17、6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A,解：,(2)求R0：串并联,R0=102/(10+2)=1.67,(3)诺顿等效电路:,I=-Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83A,解毕！,小结：,几个定理的适用条件：,4.戴文南、诺顿定理:适用于线性网络。,1.叠加定理：适用于线性网络（可含独立源和线性受控源）,2.替代定理：适用于线性和非线性网络。,3.互易定理：只适用于不含独立源和受控源的线性网络。,4.4 特勒根定理(Tellegens Theorem),1.具有相同拓扑结构（特征）的电路,两个电路，支路数和节
18、点数都相同，而且对应支路与节点的联接关系也相同。,N,两个电路支路与节点联接关系相同：,假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。,2.特勒根定理：,uk=un-un，ik=i,则,证明：,3.功率平衡定理：,在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零，即,将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。,此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。,特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，i满足KCL,KVL即可。特勒根定理与KCL,KVL三者中取其两个即可。,注意：,例1：,(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U
19、2=2V,(2)R1=1.4,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求U2。,解：,利用特勒根定理,由(1)得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A,例2.,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A,解：,4.6 对偶原理(Dual Principle),1.对偶电路：,例1.,网孔电流方程：,(R1+R2)il=us,节点电压方程：,(G1+G2)un=is,若R1=G1，R2=G2，us=is，,则两方程完全相同，解答il=un也相同。,例2,网孔方程：,节点方程：,上述每例中的两个电路称为对偶电路。,将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。,若R
20、1=G1,R2=G2,R3=G3,us1=is1,rm=gm，则两个方程组相同，其解答也相同，即un1=il1，un2=il2。,2.对偶元素：（见书）,3.对偶原理：,（或陈述）S成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶,只有平面电路才可能有对偶电路。,4.如何求一个电路的对偶电路,打点法：网孔电流对应节点电压(外网孔对应参考节点)。,注意：,例1.,例2,(2)各对偶元素进行替换。(i1 u1)数值相同，量纲不同。,(3)电源方向：电压源电压方向与网孔电流方向相同时，对应电流源方向为离开对应节点，反之相反。电流源方向与网孔电流方向相同时，对应电压源方向与对应节点电压方向相同，反之相反。,注意：,(1)每一网孔电流对应一节点电压，外网孔对应参考节点。网孔电流取顺时针方向，节点电压指向参考节点。,标准元件图,1,1A,1V,标准元件图,1,1A,1V,
