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1、直线与平面的交角,当直线l与平面相交且不垂直时，称直线l与平面斜交，直线l叫做平面的斜线。,一、斜线、斜足和斜线段,斜线l和平面的交点A叫做斜足,斜线l上一点P和斜足A间的线段叫做点P到平面的斜线段。,l,过平面外一点P向平面引垂线,垂足O叫做点P在平面上的射影。,二、射影,1、点在平面内的射影,过平面外一点P向平面引斜线,设斜足为A,那么过斜足A和垂足O的直线叫做斜线l在平面上的射影。,2、斜线在平面内的射影,l,过平面外一点P向平面引斜线,设斜足为A,那么线段OA叫做斜线段AP在平面上的射影。,3、斜线段在平面内的射影,与平面垂直的直线或线段在平面上的射影是一个点,点、线段、直线在平面上的
2、射影可能是什么图形？,思考：,点在平面上的射影是点,与平面不垂直的直线或线段在平面上的射影是一条直线或一条线段,观察：,直线AC与直线AB与平面斜交时，倾斜程度一样吗？如何来区分呢？,一般地,平面的一条斜线l和它在平面上的射影所成的锐角,叫做直线l和平面所成的角,简称直线l和平面的交角。,三、直线和平面的交角,l,如果一条直线和一个平面垂直,那么就说它们所成的角是直角;,规定：,如果一条直线平行于一个平面(或在平面上)，那么就说它们所成的角是0弧度的角.,平面的斜线与平面所成的角的取值范围,直线与平面所成的角的取值范围,例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求：直线A1B、A1C和平面A
3、BCD 所成角的大小,例2、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2，求,(1)直线A1C和平面ABCD所成角的大小,(2)直线A1C和平面BCC1B1所成角的大小,(3)直线A1C和平面CDD1C1所成角的大小,例2、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2，求,(4)直线A1B与平面DBB1D1所成角的大小,G,(1)如果斜线段的长相等,那么它们在 平面上的射影长也相等;,从平面外一点向平面引斜线段,四、斜线段与射影的联系,(2)如果斜线段的长不相等,那么它们在 平面上的射影长也不相等,并且斜线段 较长的其射影也较长;,(3)如果
4、斜线段在平面上的射影长相等,那么这两条斜线段的长相等;,(4)如果斜线段在平面上的射影长不相等,那么这两条斜线段的长也不相等;并且 射影长较大的其斜线段也较长。,例3、已知点P为ABC所在平面外的 一点，根据下列条件，指出点P在 平面上的射影 O点的位置。,(1)若PA=PB=PC,点O是ABC的外心,例3、已知点P为ABC所在平面外的 一点，根据下列条件，指出点P在 平面上的射影 O点的位置。,(2)若点P到各边的距离相等,点O是ABC的内心,E,F,G,例3、已知点P为ABC所在平面外的 一点，根据下列条件，指出点P在 平面上的射影 O点的位置。,(3)若PA、PB、PC和平面所成的角相等,点O是ABC的外心,例3、已知点P为ABC所在平面外的 一点，根据下列条件，指出点P在 平面上的射影 O点的位置。,(4)若PA、PB、PC两两垂直,点O是ABC的垂心,例4、已知点P为ABC所在平面外的 一点，且PA、PB、PC两两垂直，PA=6,PB=3,PC=4,(1)求证：点P在平面上的射影O点是 ABC的垂心,(2)点P到平面的距离,
