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1、第五节 矩阵的初等变换与初等方阵,线性代数,引例,一、消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（
2、1）的增广矩阵）的变换,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),等价关系的性质：,定义,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的,矩阵称为初等方阵。我们对n阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类n阶初等方阵。,()交换E的第i,j两行(列)(i j)，得到的初等方阵记为,i行,j行,i列,j列,()用非零常数k乘以E的第i行(列)，得到的初等方阵记为,i行(k0).,i列,()将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）(ij)，得到的初等方阵记为
3、,i行,j行,i列,j列,将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）(ij)，得到的初等方阵记为,i行,j行,i列,j列,见书中例（P64）,注意P，D，T分别代表不同运算,定理：（1）Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j（列）。（2）Di左（右）乘A就是用非零数k乘A的第行（列）。（3）Tij左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行。（4）Tij右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列。（行左列右）,见书中例1（P65）,定理：任意一个mn的矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的mn矩阵：,这是一个分块矩阵，其中Er为r阶单位矩阵，而其余子块
4、都是零块矩阵。称 为A的等价标准形。注意：方法可以多种多样，但等价标准形只有一个。见书中例2（P65）,定理：任意一个mn的矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得,证明见书（P66）,定理：n阶方阵A是可逆矩阵的 存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=En(即A等价于单位矩阵)A可以写成若干个初等方阵的乘积。,设A是n阶可逆矩阵。构造分块矩阵（A,En），它是n 2n矩阵。则存在n阶可逆矩阵P使PA=En，即P=A-1，而且有 P(A,En)=(PA,P)=(En,A-1).这就是用初等行变换求逆矩阵的公式。,具体方法：用初等行变换把n 2n矩阵(A,En)化成(En,A-1)，当(A,
5、En)的左半部分化为单位矩阵En时，右半部分就是A-1了。如果前n列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。注意，用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！而且在求出A-1以后，最好验证式子AA-1=En，以避免在计算中可能发生的错误。,见书中例3（P67）,用矩阵的初等变换求解矩阵方程常见矩阵方程有以下两类：(1)设A是n阶可逆矩阵，B是mn矩阵，求出矩阵X满足AX=B。原理：如果找到n阶可逆矩阵P使PA=En，则P=A-1，而且有P(A,B)=(PA,PB)=(En,A-1B).上式右边矩阵的最后m列组成的矩阵就是X，即X=A-1B.方法：用初等行变换把分块矩阵(A,B)化成(En,A-1B)，即(A,B)(En,A-1B)。,见书中例4（P68）,(2)设A是n阶可逆矩阵，B是mn矩阵，求出矩阵X满足XA=B。方法：用初等行变换把(AT,BT)化成(En,(BA-1)T)，可求出XT=(BA-1)T.具体过程：(A T,B T)(En,X T)。,见书中例5（P69）,三、小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,2.利用初等变换求逆阵的步骤是:,思考题,思考题解答,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,由初等方阵的性质得,结束,
