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1、,离散型随机变量,3：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 叫随机事件。,1：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。,2：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。,例如:木柴燃烧，产生热量;抛一石块,下落.,例如:在常温下,焊锡熔化;在标准大气压下，且温度低于0时，冰融化.,例如:抛一枚硬币,正面朝上;某人射击一次,中靶.等等.,复习,4、随机试验,判断下面问题是否为随机试验(1)京沈T11次特快车到达沈阳站是否正点.(2)1976年唐山地震.,历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示,说明：求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验。,事件A的概率：一般地，在大量重复进
2、行同一试验时，事件A发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动。这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。,当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率,概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。,概率反映了随机事件发生的可能性的大小。,必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0P（A）1,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。,在一个试验中如果：,（有限性）,（2）每个基本事件出现的可能性相等。,（等可能性）,（1）
3、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；,对于古典概型，如果一个试验有n个基本事件，其中随机事件A包含的基本事件个数为m，那么随机事件A的概率为：,.,P(A)=,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,7 个白球,求:,(1),从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率;,(1),解,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,7 个白球,求:,(2),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,解,以及两个球全是黑球的概率.,记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球”,为事件,为黑球”,“两个球均,思考:能否用数字来刻划抛硬币这个随机试验的结果呢？,说明：(1)任何一
4、个随机试验的结果我们可以进行数量化；(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.,X=0，表示正面向上；X=1，表示反面向上,正面朝上反面朝上,01,这种对应事实上是一个映射。,能举例构造类似的映射吗？,出现1点出现2点出现6点,126,0件次品1件次品4件次品,014,一、随机变量,确定一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。在这种对应关系下，数字是随着试验结果的变化而变化的。象这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。,二、随机变量与函数的关系1、都是一种映射，随机变量试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域，故我们也把随机变量的取值范
5、围称为随机变量的值域。2、自变量不同,三、随机变量的本质:随机变量是以随机试验的每一个可能的结果为自变量的一个函数.随机变量X的取值对应于随机试验的某一随机事件。随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数。这些数是预先知道的所有可能的值，但是不知道究竟是哪一个值。,例、投掷均匀硬币一次，随机变量为（）。,A、出现正面的次数B、出现正面或者反面的次数C、投掷硬币的次数D、出现正、反面次数之和,A,(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数X,(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X,(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X,(4)接连不断地射击
6、,首次命中目标需要的射击次数X,练习:写出下列各随机变量的值域:,1、2、3、10,0、1、2、3,2、3、12,1、2、3,例、观察下面两个随机变量的区别。,1、郑州至武汉的电力化铁道线上，每隔50米有一电线铁塔，从郑州至武汉的电力化铁道线上电线铁塔的编号；2、江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29）这一范围变化，该水位站所测水位。,四、离散型随机变量 如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.,五、连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的任意一值，不可能一一列举，这样的随机变量叫做连续型随机变量.,思考：某种电灯泡的寿命X是一个离散型随机变量吗
7、？,X取(0,+)内的一切值,故X是连续性随机变量,思考：若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过1000小时，并如下定义一个随机变量Y，Y是一个离散型随机变量吗？,0，寿命1000小时1，寿命1000小时,Y=,连续型随机变量可以转化为离散型随机变量。,练习,1.随机变量是随机事件的结果的数量化,随机变量X的取值对应于随机试验的某一随机事件。,随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果。,2.离散型随机变量和非离散
8、型随机变量。,离散型随机变量的分布列,随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此变量为随机变量，常用、表示。,复习,2、随机变量的分类,1、定义,离散型随机变量：,连续型随机变量：,的取值可一、一列出,可以取某个区间内的一切值,3、随机变量的运算,若是随机变量,=a+b,其中 a,b是常数,则也是随机变量.,离散型随机变量的分布列,称为随机变量的概率分布，简称的分布列。,则表,取每一个值 的概率,设离散型随机变量可能取的值为,1、概率分布（分布列）,根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布列有什么性质？,问题1：抛掷一个骰子，设得到的点数为，则的取值情况如何？取各个值的概率分别是什么？,2
9、,1,3,4,5,6,问题2：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为，则取哪些值？各个对应的概率分别是什么？,4,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布。,求出的每一个取值的概率,列出随机变量的所有取值,两个关健步骤,离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：,一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。,例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：,求此射手“射击一次命中环数7”的概率,解:,由的分布列得,所求概率为,一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中
10、随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列,例2：,解：,表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小,所以随机变量的分布列为,的所有取值为：3、4、5、6,表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小,表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小,表示其中一个球号码等于“6”，另两个都比“6”小,例3.随机变量的分布列为,求常数a。,解：由离散型随机变量的分布列的性质有,例4:已知随机变量的分布列如下：,解：,其相应取值的概率没有变化,故1的分布列为:,例4:已知随机变量的分布列如下：,解：,故2的分布列为:,我们称这样的随机变量服从二项分布，记作,其中n，p为参数,并
11、记,如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少？在这个试验中，随机变量是什么？,二项分布,其中k=0,1,n.p=1-q.,于是得到随机变量的概率分布如下：,例1：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以表示取出的3个球中的最小号码,试写出的分布列.,解:随机变量的可取值为 1,2,3.,当=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有,因此,的分布列如下表所示,例2:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的
12、,并且概率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.,解:,(2)至少遇到一次红灯的概率为,例3.（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布,解：依题意，随机变量B(2，5%)所以，,因此，次品数的概率分布是,例3：将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布.(1)两次掷出的最大点数;(2)两次掷出的最小点数;(3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差.,解:(1)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个小于k点,故P(=k)=,k=1,2,3,
13、4,5,6.,(3)的取值范围是-5,-4,，4，5.=-5,即第一次是1点，第二次是6点；，从而可得的分布列是：,(2)=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一个大于k点,故P(=k)=,k=1,2,3,4,5,6.,例4、在一袋中装有一只红球和九只白球。每次从袋中任取一球取后放回，直到取得红球为止，求取球次数的分布列。,分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球，取后又放回，因此应注意以下几点：(1)一次取球两个结果：取红球A或取白球，且P(A)=0.1；(2)取球次数可能取1，2，；(3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。,于是得到随机变量的概率分布如下：,称服从几何分布，
14、并记 g(k,p)=pqk-1,在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数也是一个取值为正整数的随机变量。“=k”表示在第k次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为 A k，p（A k)=p，那么,例:某人射击击中目标的概率是0.2，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率（精确到0.01）。,解:,设在这10次射击中击中目标的次数是,则B(10,0.2).,答:他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率为0.99.,例:某人每次投篮投中的概率为 0.1，各次投篮的结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数的分
15、列以及他在5次内投中的概率（精确到0.01）。,解:,设他投篮投中时抽篮的次数是,则服从几何分布,其中p=0.1,的分布列为,答:他在5次内投中的概率为0.41.,返回,从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数 的分布列,解：,表示只取一次就取到合格品,表示第一次取到次品，第二次取到合格品,表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品,随机变量,的分布列为：,的所有取值为：1、2、3、4,每次取出的产品都不放回此批产品中；,返回,某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9如果命中了就停
16、止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列,解：,的所有取值为：1、2、3、4、5,表示第一次就射中，它的概率为：,表示第一次没射中，第二次射中，,同理，,表示前四次都没射中，,返回,某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列,解：,的所有取值为：2、3、4、5,表示前二次都射中，它的概率为：,表示前二次恰有一次射中，第三次射中，,表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中,同理,求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：,1、找出随机变量的所有可能的取值,2、求出各取值的概率,3、列成表格。,作业:课本第9页5、6、7、8、9,
