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1、第二章 离散型随机变量,一维离散型随机变量及分布列二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列随机变量的数学期望随机变量的方差条件分布及条件数学期望,2.1一维离散随机变量,一、定义：设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e S，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。,：引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,例1,随机变量,随机变量的分类,二、一维离散
2、型随机变量,1、定义2.1 若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或,Xx1 x2xKPkp1p2pk,(1)pk 0,k1,2,;(2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布列。,2.分布律的性质,某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,例2:,3、几个常用的离散型分布,（1）(0-1)分布(p63)若以X表示进行一次试
3、验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或,（2）二项分布(p63),若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布，记作XB（n,p)。其分布律为：,.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,例3,例4.某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,普哇松定理(p65)：设随机变量XnB(n,p),(n0,1,2,)
4、,且n很大，p很小，记=np，则,上题用普哇松定理 取=np(400)(0.02)8,故近似地有,PX21 PX0P X11(18)e80.996981.,（3）普哇松(Poisson)分布P()(p64)XPXk,k0,1,2,(0),普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布,.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,例5,2.2 二维离散型随机变量 一、多维随机变量,定义2.2：将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向
5、量(X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,1、若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j1,2,)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。2、若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称 PXxi,Y yj,pij，(i,j1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律。可记为(X,Y)PXxi,Y yj pij(i,j=1,2,)，,二、二维离散型随机变量及其联合分布律,X Y y1 y2 yj p11 p12.P1j.p21 p22.P2j.pi1 pi2.Pij.,.,.,.,.,.,.,.,.,3、联合分布
6、律的性质(1)pij 0,i,j1,2,；(2),x1 x2xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,例1,4、边际分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,，则称 PXxipi.，i1,2,为(X,Y)关于X的边际分布律；,PY yjpj，j1,2,。为(X,Y)关于Y的边际分布律。边际分布律自然也满足分布律的性质。,.已知(X,Y)的分布律为xy10 11/103/100 3/10 3/10求X、Y的边际分布律。,例2,问题：联合分布列
7、与边际分布列有什么关系？,例3：袋中有5张外型相同的卡片，其中3张写上数字0，另两张写着数字1现从袋中任取两张，分别以X、Y表第一张与第二张上的数字，对有放回与不放回两种方式，分别求（X，Y）的联合分布列。,三、随机变量的相互独立性,定义2.3：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为PX=xi,Y=yj=Pij,i,j=1,2,。若对任意i,j，有Pij=PiPj。则X与Y相互独立。,例4：判断例3中的X与Y是否相互独立。,例5：已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。,X,Y,1 2,0 1,0.15 0.15,a b,一、一维离散型随机变量函数的分布律,2.3
8、 离散型随机变量函数的分布,1、设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.,例:已知,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）,一般地,X,Pk,Y=g(X),例21：设X服从参数为 的普哇松分布的随机变量，又,试求的Y=f(X)分布列。,二、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2
9、,或,例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 Pi q p(1)求WXY的分布律;(2)求Vmax(X,Y)的分布律；(3)求Umin(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。,例212：设X、Y是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 的普蛙松分布，求Z=X+Y的分布列。,说明：（1）普蛙松分布具有可加性；（2）习题2.27可证明二项分布也具有 可加性。,2.4数学期望的定义与性质,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1.若XPX=xk=pk,k=1,2,n,则称,定义 2.若XPX=xk=pk,k=1,2,且,为的数学期望，简称期望或均值。,，则称,
10、为的数学期望,定义,一.数学期望的定义,掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,例2:,1.0-1分布的数学期望,EX=p,2.二项分布B(n,p),二.几个重要r.v.的期望,3.普哇松分布,例1：设随机变量X的分布律为,求随机变量Y=X2的数学期望。,X,Pk,-1 0 1,三.随机变量函数的期望,2.2：若 XPX=xk=pk,k=1,2,且则Y=g(X)的期望E(g(X)为,定理2.3:若(X,Y)PX=xi,Y=yj,=pij,i,j=1,2,且则Z=g(X，Y)的期望,定理,设随机变量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。,例4：,X,Y,1 2,0 1,0.15
11、0.15,0.45 0.25,1.E(c)=c,c为常数;2.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数;3.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,四.数学期望的性质,解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,例3：若XB(n,p),求E(X)。,一.方差的定义,方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。,如何定义？,2.5方差的定义及性质,：若E(X),E(X2)存在，则称EX-E(X)2 为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为的标准差,易见：,1.定义,推论：D(X)=E(X2)-E(X)2.,(1)D(c)=0反之，若D（
12、X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1,且C=E(X);,(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；,二、方差的性质,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,1.二项分布B(n,p)：,三、几个重要r.v.的方差,2.普哇松分布p()：,例2：设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y),设随机变量X与Y的联合分布列为(X,Y)PXxi,Y yj,pij，(i,j1,2,)，X和Y的边际分布列分别为,2.6条件分布与条件数学期望一.条件分布列,为Y yj的条件
13、下，X的条件分布列;,若对固定的j,p.j0,则称,同理，对固定的i,pi.0,称,为X xi的条件下，Y的条件分布列。,二、条件数学期望,定义2.7：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分布列为 则称为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，记为,例2.19：某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p(0p1)，射击进行到击中目标两次停止。令X表示第一次击中目标时的射击次数，Y表示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列pij，条件分布列pi/j及pj/i条件期望EX/Y=n.,三、条件数学期望的性质,2、若a,b是两个常数，又,存在，则,存在，且,以上两条性质是在固定“Y=yi”的条件下考察条件期望的性质。,1、,3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期 望。,
